isomorphie von körpererw. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) Zeigen Sie dass die körper [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) \in \IC [/mm] und [mm] \IQ(i\wurzel[4]{2}) \in \IC [/mm] isomorph sind.
ii) Bestimmen Sie alle Automorphismen von [mm] \IQ(\wurzel{2}). [/mm]
iii) Welche davon lassen sich zu Isomorphismen [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) \to \IQ(i\wurzel[4]{2}) [/mm] fortsetzen? |
also leider hab ich nur zu ii) die Automorphismen gefunden:
[mm] \sigma_{1}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{2}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}
[/mm]
bei i) fehlt mir die spur: Was muss gelten, damit zwei körper isomorph sind?
bei iii) weiß ich leider nicht wie das mit den autom. in ii) zusammenhängt und wie man sowas macht :( wer kann helfen?
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ok, schon mal vielen dank.
i) Also die minimalpolynome sind bei beiden [mm] X^{4}-2, [/mm] also sind sie isomorph, reicht das?
iii) Nst sind [mm] \wurzel[4]{2}, -\wurzel[4]{2}, i\wurzel[4]{2}, -i\wurzel[4]{2} [/mm] oder?
und nun kann ich folg. Isomorphismen bilden:
[mm] \sigma_{1}: \wurzel[4]{2}\mapsto\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{2}: \wurzel[4]{2}\mapsto-\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2}
[/mm]
und wenn ich überall $ [mm] \sqrt{2} [/mm] = [mm] \sqrt[4]{2}^2 [/mm] $ einsetze erhalte ich
[mm] \sigma_{1}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{2}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2} [/mm]
stimmt das noch? und was muss ich jetzt noch zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mi 05.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ok, schon mal vielen dank.
> i) Also die minimalpolynome sind bei beiden [mm]X^{4}-2,[/mm] also
> sind sie isomorph, reicht das?
Es stimmt im wesentlichen, nur du musst schon etwas mehr aufschreiben wenn du das als Uebungszettel abgibst 
> iii) Nst sind [mm]\wurzel[4]{2}, -\wurzel[4]{2}, i\wurzel[4]{2}, -i\wurzel[4]{2}[/mm]
> oder?
Ja, aber nicht alle davon liegen in [mm] $\IQ(i \sqrt[4]{2})$!
[/mm]
> und nun kann ich folg. Isomorphismen bilden:
> [mm]\sigma_{1}: \wurzel[4]{2}\mapsto\wurzel[4]{2}[/mm]
> [mm]\sigma_{2}: \wurzel[4]{2}\mapsto-\wurzel[4]{2}[/mm]
>
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2}[/mm]
>
> [mm]\sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2}[/mm]
Zwei davon sind Isomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$, [/mm] und zwei davon sind Automorphismen von [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2})$.
[/mm]
> und wenn
> ich überall [mm]\sqrt{2} = \sqrt[4]{2}^2[/mm] einsetze erhalte ich
> [mm]\sigma_{1}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\sigma_{2}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
> stimmt das noch? und was muss ich jetzt noch zeigen?
Das stimmt so nicht, da ist ein Minus verlorengegangen.
Wenn das so stimmen wuerde, und alles Isomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$ [/mm] waeren, so wuerdest du sehen, dass jeder Automorphismus von [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] eine Einschraenkung eines solchen Isomorphismus ist (ist dir das klar?).
Jetzt finde aber erstmal alle Isomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$, [/mm] noch hast du zu viele :)
LG Felix
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ok. da war ich zu voreilig. ich denke die isomorphismen von $ [mm] \IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2}) [/mm] $ sind:
$ [mm] \sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2} [/mm] $
$ [mm] \sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2} [/mm] $
und dann $ [mm] \sqrt{2} [/mm] = [mm] \sqrt[4]{2}^2 [/mm] $eingesetzt
$ [mm] \sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm] $
$ [mm] \sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2} [/mm] $
was muss ich jetzt machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 06.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ok. da war ich zu voreilig. ich denke die isomorphismen von
> [mm]\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})[/mm] sind:
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2}[/mm]
>
> [mm]\sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2}[/mm]
Genau!
> und dann
> [mm]\sqrt{2} = \sqrt[4]{2}^2 [/mm]eingesetzt
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
Das stimmt so nicht. Du hast da einen Vorzeichenfehler gemacht. Was ist $(i [mm] \sqrt[4]{2})^2$ [/mm] und was ist $(-i [mm] \sqrt[4]{2})^2$?
[/mm]
LG Felix
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ja da hast du recht, es müsste heißen:
$ [mm] \sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm] $
$ [mm] \sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm] $
und nun? mir fehlt immer noch die schlussfolgerung:(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 06.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ja da hast du recht, es müsste heißen:
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]
So. Jetzt beachte, dass ein Automorphismus von [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] bereits voellig durch das Bild von [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] bestimmt ist. Damit ist [mm] $\sigma_3|_{\IQ(\sqrt{2})} [/mm] = [mm] \sigma_2$ [/mm] (wobei [mm] $\sigma_2$ [/mm] der Automorphismus aus diesem Post ist) und ebenso [mm] $\sigma_4|_{\IQ(\sqrt{2})} [/mm] = [mm] \sigma_2$.
[/mm]
Du siehst also: nur der Automorphismus [mm] $\sigma_2$ [/mm] von [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] kann zu einem Isomorphismus [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$ [/mm] fortgesetzt werden (und zwar auf zwei verschiedene Art und Weisen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Do 06.01.2011 | | Autor: | sepp-sepp |
ok. vielen dank für deine mühen. hast mir echt sehr geholfen:)
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