ist best. Folge Cauchy-Sequenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Do 07.10.2010 | | Autor: | starik |
| Aufgabe | | Zeige das die Folge [mm] {x_{k}}=1/1² [/mm] + 1/2² + ... + 1/k² eine Cauchy-Folge ist |
Hallo liebe Gemeinde,
vielen Dank für euren Service. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe eine Übungsaufgabe und Lsg., aber ich kapier's einfach nicht.
Aufg.: Zeige, dass die Folge [mm] {x_{k}}=1/1² [/mm] + 1/2² + ... + 1/k² eine Cauchy-Folge ist.
Dann steht da m,n natürl. Zahlen, wobei m>n und p=m-n.
[mm] |x_{m}-x_{n}|= |x_{n+p}-x_{n}|=1/(n+1)² [/mm] + ... + 1/(n+p)²
Bis jetzt alles logo, aber dann:
< 1/n(n+1) + ... + 1/(n+p-1)(n+p)
Woher kommt das "<"? Woher kommt 1/n(n+1)?
Wahrscheinlich sehe ich nur den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber ich könnte gerade das Buch (wo die Aufgabe steht) auffressen.
Vielen Dank!!!
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Hallo starik und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeige das die Folge [mm]{x_{k}}=1/1²[/mm] + 1/2² + ... + 1/k²
> eine Cauchy-Folge ist
> Hallo liebe Gemeinde,
>
> vielen Dank für euren Service. Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Habe eine Übungsaufgabe und Lsg., aber ich kapier's
> einfach nicht.
>
> Aufg.: Zeige, dass die Folge [mm]{x_{k}}=1/1²[/mm] + 1/2² + ... +
> 1/k² eine Cauchy-Folge ist.
>
> Dann steht da m,n natürl. Zahlen, wobei m>n und p=m-n.
> [mm]|x_{m}-x_{n}|= |x_{n+p}-x_{n}|=1/(n+1)²[/mm] + ... + 1/(n+p)²
Da hast du ein Quadrat verschlabbert! Da sollte [mm]\frac{1}{(n+1)^{\red{2}}[/mm] stehen! Mache die Exponenten mit dem Dach links neben der 1
>
> Bis jetzt alles logo, aber dann:
>
> < 1/n(n+1) + ... + 1/(n+p-1)(n+p)
>
> Woher kommt das "<"? Woher kommt 1/n(n+1)?
Na, all diese Brüche in der Summe sind positiv.
Wenn du den Nenner eines positiven Bruchs verkleinerst, vergrößerst du den Gesamtbruch: [mm]\frac{1}{4}<\frac{1}{3}[/mm], oder?
Schreibe vorher: [mm]\ldots=\frac{1}{(n+1)(n+1)}+\frac{1}{(n+2)(n+2)}+\ldots+\frac{1}{(n+p)(n+p)}[/mm]
Nun wird im Nenner eines jeden Bruchs dieser Summe der jeweils erste Faktor genau um 1 verkleinert, jeder Bruch wird damit vergrößert, also
[mm]\frac{1}{\red{(n+1)}(n+1)}+\frac{1}{\red{(n+2)}(n+2)}+\ldots+\frac{1}{\red{(n+p)}(n+p)} \ < \ \frac{1}{\red{(n+1-1)}(n+1)}+\frac{1}{\red{(n+2-1)}(n+2)}+\ldots+\frac{1}{\red{(n+p-1)}(n+p)} \ = \ \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)}[/mm]
>
> Wahrscheinlich sehe ich nur den Wald vor lauter Bäumen
> nicht, aber ich könnte gerade das Buch (wo die Aufgabe
> steht) auffressen.
Ob das so gut schmeckt 
>
> Vielen Dank!!!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Do 07.10.2010 | | Autor: | starik |
Ok, vielen Dank. Ja das mit dem "Verkleinern" ist mir klar, aber ich hatte da ist doch ein = Zeichen, hatte eher
[mm] |x_{n+p}-x_{n}| [/mm] weitergeführt und da erschließt sich mir nicht wie es weitergeht, da
[mm] |x_{n+p}-x_{n}| [/mm] = [mm] 1/(1+n)^2 [/mm] + ... + [mm] 1/(n+p)^2 [/mm] , aber wo ist hier [mm] x_{n}?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok, vielen Dank. Ja das mit dem "Verkleinern" ist mir klar,
> aber ich hatte da ist doch ein = Zeichen, hatte eher
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> [mm]|x_{n+p}-x_{n}|[/mm] weitergeführt und da erschließt sich mir
> nicht wie es weitergeht, da
>
> [mm]|x_{n+p}-x_{n}|[/mm] = [mm]1/(1+n)^2[/mm] + ... + [mm]1/(n+p)^2[/mm] , aber wo ist
> hier [mm]x_{n}?[/mm]
[mm] $x_n$ [/mm] wird doch von [mm] $x_{n+p}$ [/mm] abgezogen, da bleiben doch nur diese Summanden von $n+1$ bis $n+p$ übrig.
Schaue dir die Def. der [mm] $x_k$ [/mm] oben nochmal an und schreibe dir mal ausführlich dies auf:
[mm] $x_{n+p}-x_n$
[/mm]
Was steht da ausgeschrieben und was bleibt nach der Subtraktion?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Do 07.10.2010 | | Autor: | starik |
Danke, jetzt fällt es mir wie Schuppen von den Augen...
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