ito p. differenzierbarkeit < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Sa 27.10.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ein Ito Prozess ist ja nicht nach [mm]t[/mm] differenzierbar. Man betrachte jetzt einen Prozess
[mm]X_t = X_0 + \int_0^t \mu (X_s,s)ds+\int_0^t \sigma(X_s,s) dB_s[/mm].
Angenommen im Driftterm [mm]\mu(\cdot)[/mm] kommt eine Konstante [mm]c[/mm] vor, aber nicht im Diffusionsterm [mm]\sigma(\cdot)[/mm].
So nun fasse man den Prozess [mm]X_t[/mm] als Funktion von [mm]c[/mm] auf eventuell für ein fixes [mm]\omega[/mm]. Ist es nun möglich nach [mm]c[/mm] zu differenzieren? Ich will darauf hinaus, ob so z.B. gezeigt werden kann dass [mm]\frac{dX_t}{dc}[/mm] positiv ist und somit [mm]X_t[/mm] in [mm]c[/mm] wächst. Also aussagen im Sinne der comparsion theorems (Ikeda, Watanabe) treffen, jedoch durch "Ableiten".
Vielen Dank
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Hiho,
> ein Ito Prozess ist ja nicht nach [mm]t[/mm] differenzierbar.
so stimmt die Aussage auch nicht. Im Allgemeinen ist es nicht nach t differenzierbar, es gibt aber durchaus Itô-Prozesse, wo das geht.
> So nun fasse man den Prozess [mm]X_t[/mm] als Funktion von [mm]c[/mm] auf eventuell für ein fixes [mm]\omega[/mm]. Ist es nun möglich nach [mm]c[/mm] zu differenzieren?
Das hängt davon ab, in welcher Art und Weise dein [mm] \mu [/mm] von c abhängt.... im Allgemeinen ist es aber sicher nicht nach c differenzierbar.
Gegenbeispiel: Setze [mm] $\mu [/mm] = f(c)$, wobei f nirgends differenzierbar.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 27.10.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
danke für Deine Antwort. Nein der Driftterm ist natürlich nach [mm]c[/mm] differenzierbar.
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Hiho,
> danke für Deine Antwort. Nein der Driftterm ist natürlich nach [mm]c[/mm] differenzierbar.
na so "natürlich" ist das nicht, das ist er vermutlich im Allgemeinen nämlich nicht.
Aber wenn er es ist, kennst du aus deinen Analysis-Grundvorlesungen sicherlich Bedingungen, wann du bei einer mehrvariablen Funktion Integration nach der Einen und Differenzierung nach einer anderen vertauschen kannst.
Dafür gibts ja einige Kriterien, also einfach mal nachschlagen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 So 28.10.2012 | | Autor: | vivo |
Ich hätte mich vielleicht ein wenig präziser ausdrücken sollen. Ich betrachte nämlich ein konkretes Beispiel ... und in deisem Fall ist der Driftterm differenzierbar. Es ist so, dass ich die Aussage bereits über eine version des comparsion therorems (Ikeda Watanabe) gezeigt habe. Anschließend habe ich mich gefragt, ob dies überhaupt nötig ist, oder ob man nicht einfach Differenzieren kann.
Also wenn ich dich richtig verstehe dann geht dies und das stochastische Integral sowie der Startwert fallen weg und es bleibt zu prüfen ob Ableitung und Integral vertauschbar sind ... wenn ja können Aussagen z.B. der Form [mm]\frac{dX_t}{dc} > 0[/mm] getroffen werden.
Vielen Dank
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Hiho,
> Also wenn ich dich richtig verstehe dann geht dies und das
> stochastische Integral sowie der Startwert fallen weg und
> es bleibt zu prüfen ob Ableitung und Integral vertauschbar sind
Ja, dann kannst du [mm] $\bruch{dX_t}{dc}$ [/mm] schreiben als [mm] $\integral_0^t\,\bruch{d}{dc} \mu(X_s,s) [/mm] ds$
> ... wenn ja können Aussagen z.B. der Form [mm]\frac{dX_t}{dc} > 0[/mm] getroffen werden.
Ja, aber vielleicht musst du nicht notwendigerweise Integral und Differenzieren vertauschen, vielleicht kannst du ja auch schon eine Aussage treffen über [mm] $\bruch{d}{dc} \integral_0^t\,\mu(X_s,s)ds$
[/mm]
Nur meistens ist es halt "praktisch", wenn du das Differenzieren ins Integral ziehen kannst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 27.10.2012 | | Autor: | vivo |
> Hiho,
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> > ein Ito Prozess ist ja nicht nach [mm]t[/mm] differenzierbar.
>
> so stimmt die Aussage auch nicht. Im Allgemeinen ist es
> nicht nach t differenzierbar, es gibt aber durchaus
> Itô-Prozesse, wo das geht.
Hast Du zufällig ein Beispiel bei der Hand?
Danke
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Hiho,
> Hast Du zufällig ein Beispiel bei der Hand?
bspw. jeder Itô Prozess mit [mm] $\sigma \equiv [/mm] 0$, d.h. jeder deterministische Itô-Prozess.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 So 28.10.2012 | | Autor: | vivo |
Erstmal Danke für Deine Antworten.
Ok ... aber es gibt keinen stochastischen ... richtig?
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Hiho,
> Ok ... aber es gibt keinen stochastischen ... richtig?
ob es gar keine gibt, weiß ich ehrlich gesagt nicht wirklich. Im Allgemeinen ist er es aber nicht, das stimmt.
MFG,
Gono.
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