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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:27 Sa 18.10.2008 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | $k$ Linearformen [mm] $\sigma_1,...,\sigma_k\in V^{\star}$ [/mm] sind genau dann linear unabhängig, falls [mm] $\sigma_1\wedge...\wedge\sigma_k\ne [/mm] 0$. |
Hallo,
Habe mir gerade einen hübschen "Beweis" überlegt, vielleicht könnte sich jemand mal dazu äußern... also der geht so:
Für fixierte [mm] $v_1,...,v_k\in [/mm] V$ ist die Abbildung [mm] $\Phi:(V^\star)^k\ni(\sigma_1,..,,\sigma_k)\mapsto (\sigma_1\wedge...\wedge\sigma_k)(v_1,...,v_k)\in\IR$
[/mm]
eine alternierende Multilinearform, denn [mm] $\Phi$ [/mm] ist linear in jedem Argument und für [mm] $\omega^1,\eta^1\in\Lambda^1(V^\star)$ [/mm] gilt [mm] $\omega^1\wedge\eta^1=-\eta^1\wedge\omega^1$. [/mm] Damit gilt [mm] $$\sigma_1,...\sigma_k\text{ linear unabhängig }\gdw \Phi(\sigma_1,...,\sigma_k)\ne [/mm] 0$$ Edit: Mir ist gerade aufgefallen dass die Hinrichtung dieser Äquivalenz nicht so ohne weiteres folgt... shit
Da [mm] $v_1,...,v_k$ [/mm] beliebig waren, folgt damit die Behauptung [mm] $\quad\Box$
[/mm]
Mit [mm] $\Lambda^k(V^\star)$ [/mm] meine ich den den VR der $k$-Formen, weiß nicht wie üblich diese Notation ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 20.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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