kanon. Ringhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 16.12.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei R ein Hauptidealring, m [mm] \ge [/mm] 2 und [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{m} [/mm] paarweise teilerfremde Elemente von R, d.h. für 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] m ist 1 der ggT von [mm] a_{i} [/mm] und [mm] a_{j}. [/mm] seien [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{m} [/mm] beliebige Elemente aus R.
Zeige, dass dann ein x [mm] \in [/mm] R existiert mit [mm] x-x_{i} \in (a_{i}) [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m.
Folgere daraus, dass der kanonische Ringhomomorphismus
[mm] R/(a_{1} [/mm] * [mm] a_{2} [/mm] * ... * [mm] a_{m}) \to R/(a_{1}) \times [/mm] ... [mm] \times R/(a_{m}) [/mm]
ein isomorphismus ist.
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hallo!
ich blicke bei dieser aufgabe nicht ganz durch. ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen und mir einen tipp geben, wie ich vorgehen könnte.
wenn [mm] x-x_{i} \in (a_{i}) [/mm] ist, ist doch [mm] x-x_{i} [/mm] ein vielfaches von [mm] a_{i}, [/mm] oder? also gilt doch: [mm] x-x_{i} [/mm] = c [mm] a_{i}.
[/mm]
aber wie zeige ich, dass es ein solches x [mm] \in [/mm] R gibt?
ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen. vielen dank!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi VHN
Tipp: das ist der chinesische Restsatz
Den Beweis findest du mit google.
LG Binie
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