kanonische Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $K = [mm] \IZ/5, [/mm] V = [mm] K^4, [/mm] U = [mm] K, [/mm] U' = [mm] K, v_1 [/mm] = (1,2,3,1), [mm] v_2 [/mm] = (0,1,0,2), [mm] v_3 [/mm] = (1,0,2,1), [mm] v_4 [/mm] = (1,1,1,0)$
a) Zeige: U' ist ein Komplement von U in V
b) Seien [mm] \pi_U [/mm] und [mm] \pi_{U'} [/mm] die zu V = U [mm] \oplus [/mm] U' gehörige kanonischen Projektionen.
Berechne [mm] \pi_U(v) [/mm] und [mm] \pi_U'(v) [/mm] für $v = (1,3,1,2)$ |
Hallo!
ad a) Reicht es hier, wenn ich zeigen, dass die Zusammensetzung der beiden Basen eine Basis von V ist?
ad b) hier ist ja vorausgesetzt, dass die Summe der Unterräume direkt ist, somit kann ich eine Basis von V basteln, wenn ich die Basen der Unterräume zusammenstöpsle.
Wir haben dann weiters eine Übergangsmatrix von $w = [mm] (w_1, w_2, w_3, w_4)$ [/mm] ... Basis von V nach $u = [mm] (v_1, v_2, v_3, v_4)$ [/mm] (Zusammensetzung der Basen der Unterräume und ebenfalls Basis von V) in der Vorlesungsunterlage bei der Berechnung.
Kann ich hier nicht einfach annehmen, dass [mm] $w*I_4 [/mm] = u$, weil sich so das WEiterrechnen extrem vereinfacht.
thx & greetz
sonnenblumale
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Hallo!
zu a):
Insgesamt musst du zeigen, dass [mm] $U\cap U'=\{0\}$ [/mm] und $U+U'=V$. Da es sich hier um einen endlich-dimensionalen Vektorraum handelt reicht es in der Tat nachzurechnen, dass [mm] $\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ [/mm] eine Basis von $V$ ist.
zu b):
Zunächst eine Anmerkung: Eigentlich würde ich hier statt [mm] $U\oplus [/mm] U'$ eher $U+U'$ erwarten, da es sich ja nicht um eine orthogonale Summe handelt, oder? Ansonsten bräuchtest du nämlich ein Skalarprodukt.
Diese Aufgabe kannst du in der Tat mit Hilfe einer Übergangsmatrix berechnen. Oder du kannst das lineare Gleichungssystem
[mm] $v=\kappa_1 u_1+\kappa_2 u_2+\kappa_3 u_3+\kappa_4 u_4$ [/mm] mit [mm] $\kappa_i\in [/mm] K$ lösen.
Dann ist [mm] $\pi_U(v)=\kappa_1 u_1+\kappa_2 u_2$ [/mm] und [mm] $\pi_{U'}(v)=\kappa_3 u_3+\kappa_4 u_4$.
[/mm]
> Kann ich hier nicht einfach annehmen, dass [mm]w*I_4 = u[/mm], weil
> sich so das WEiterrechnen extrem vereinfacht.
Diese Frage verstehe ich leider nicht ganz. Woher kommt $w$? Und was meinst du mit [mm] $I_4$? [/mm] Die Identitätsmatrix?
Gruß, banachella
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