kartesische Einheitsvektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 26.01.2006 | | Autor: | Hing |
| Aufgabe | | Wählen Sie drei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c}, [/mm] die jeweils kein Vielfaches eines kartesischen Einheitsvektors [mm] \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y} [/mm] und [mm] \vec{e}_{z} [/mm] sind, so, dass sie eine Basis des [mm] R^{3} [/mm] bilden. Mit Nachweis! |
Ich weiss nicht mal genau was ich fragen soll! alle quellen sind irgendwie nicht eindeutig genug.
soll ich jetzt einheitsvektoren mit der länge 1 suchen, die irgendwie nicht die form [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] haben?
es ist eine klausuraufgabe die evtl. morgen dran kommt. falls ich heute abend eine antwort erhalten würde, so würde mich das sehr freuen.
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Hallo!
> Wählen Sie drei Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c},[/mm]
> die jeweils kein Vielfaches eines kartesischen
> Einheitsvektors [mm]\vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}[/mm] und [mm]\vec{e}_{z}[/mm]
> sind, so, dass sie eine Basis des [mm]R^{3}[/mm] bilden. Mit
> Nachweis!
> Ich weiss nicht mal genau was ich fragen soll! alle
> quellen sind irgendwie nicht eindeutig genug.
Was ist denn da nicht eindeutig? Naja, ich versuche mal, ein bisschen auszuholen:
Ich vermute mal, dass mit "kartesischen Einheitsvektoren" die Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\.\\..\\0\\}, \vektor{0\\1\\0\\...\\0},...,\vektor{0\\.\\..\\0\\1} [/mm] gemeint sind.
Eine Basis ist ein System von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem sind.
Nun ist dir bestimmt bekannt, dass die kartesischen Einheitsvektoren eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] bilden - im Dreidimensionalen wäre das z. B. [mm] \cal{B}=\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\}. [/mm] Denn diese drei Vektoren sind offenbar linear unabhängig und erzeugen auch den ganzen [mm] \IR^3.
[/mm]
Wenn die Aufgabe nun hieße: Geben Sie eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] an, dann würde wahrscheinlich jeder diese "kanonische" Basis angeben, und das wäre zu einfach. Wenn nun die kanonische Basis explizit ausgeschlossen würde, so könnte man es sich immer noch einfach machen, indem man einfach ein Vielfaches der einzelnen Vektoren nimmt, also z. B. [mm] \cal{C}=\{\vektor{5\\0\\0},\vektor{0\\5\\0},\vektor{0\\0\\5}\}. [/mm] Denn diese Vektoren sind natürlich auch linear unabhängig und auch sie erzeugen den ganzen [mm] \IR^n.
[/mm]
Was du nun machen sollst, ist, eine Basis zu finden, die nicht so aussieht. Also weder die kanonische Basis, noch Vektoren, die Vielfache von den kanonischen Basisvektoren sind. Ist nun klar, was gemeint ist?
> soll ich jetzt einheitsvektoren mit der länge 1 suchen, die
> irgendwie nicht die form [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] haben?
Länge 1 müssen sie auch nicht haben - für eine Basis ist das egal. Es sei denn, du brauchst eine Orthonormalbasis, aber dann müssten die Basisvektoren auch noch orthogonal sein (und bei orthonormal müssen sie dann auch noch Länge 1 haben).
> es ist eine klausuraufgabe die evtl. morgen dran kommt.
> falls ich heute abend eine antwort erhalten würde, so würde
> mich das sehr freuen.
So, eine Antwort auf deine Frage hast du nun, denke ich. Vielleicht noch eine kleine Idee zum Lösen dieser Aufgabe:
Ich würde mit einem einfachen Vektor anfangen, am besten sollte er nicht zu große Zahlen enthalten, damit lässt es sich einfach rechnen. Also z. B. mit einem Vektor wie [mm] \vektor{1\\1\\0}. [/mm] Nun suchst du einen zweiten ("einfachen"), der zum ersten linear unabhängig ist, und dann noch einen dritten dazu. Wie man genau direkt einen wählt, so dass es auch ein Erzeugendensystem wird, kann ich dir im Moment nicht sagen, aber am besten überprüfst du das bei deinen drei Vektoren dann. Und wenn es keins ist, probierst du mal einen anderen Vektor aus.
Viele Grüße
Bastiane
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