keine nichttriviale Lösung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] 5x^3 [/mm] + [mm] 11y^3 [/mm] + [mm] 13z^3 [/mm] = 0 keine nichttriviale Lösung (x,y,z) [mm] \in \IZ^3 [/mm] hat. |
Hallo zusammen!
Ich habe mir überlegt, dass man das über einem Restklassenring betrachten könnte und habe mal mit [mm] \IZ_2 [/mm] begonnen. Die rechte Seite ist kongruent 0 mod2, die linke Seite kongruent x + y + z. Also gut, dass sagt mir schon mal, dass genau eine Zahl von x, y und z gerade und zwei ungerade sein müssten.
Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.
Vielleicht könnt ihr mir ja einen Tipp geben! Das wäre super!
vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
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moin schnecke,
Betrachte das ganze mal modulo 13, dann dürftest du einen Widerspruch erhalten. ;)
lg
Schadow
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hej Schadow,
vielen herzlichen Dank für deine schnelle Antwort!
mod 13 ergibt sich ja dann:
[mm] 5x^3 [/mm] + [mm] 11y^3 \equiv [/mm] 0 mod13
Ich habe das jetzt so begründet, dass für [mm] x^3 [/mm] und [mm] y^3 [/mm] nur [mm] \overline{0},\overline{1},\overline{5},\overline{8},\overline{12}in [/mm] Frage kommen. Für [mm] 5x^3 [/mm] ergeben sich genau dieselben Möglichkeiten, für [mm] 11y^3 \overline{0},\overline{2},\overline{3},\overline{10},\overline{11}. [/mm]
Jetzt sieht man relativ schnell, dass man als einzige Möglichkeit [mm] \overline{0} [/mm] zu erhalten, [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{0} [/mm] nehmen kann.
Nur interessehalber: Geht das noch irgendwie eleganter?
Vielen Dank noch mal!
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So spontan sehe ich keinen.
Und leider gibt es fürchte ich noch ein weiteres kleines Problemchen.^^
Damit ist nur gezeigt, dass sowohl $x$ als auch $y$ durch 13 teilbar sein müssen.
Ich hab die Frage mal wieder auf halb offen gestellt, vielleicht hat ja jemand eine schöne, feine Idee.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 07.02.2012 | | Autor: | donquijote |
> So spontan sehe ich keinen.
> Und leider gibt es fürchte ich noch ein weiteres kleines
> Problemchen.^^
> Damit ist nur gezeigt, dass sowohl [mm]x[/mm] als auch [mm]y[/mm] durch 13
> teilbar sein müssen.
Das ist dann kein Problem mehr, da in diesem Fall auch z durch 13 teilbar sein muss und man die 13 rauskürzen kann (da [mm] 5x^3+11y^3 [/mm] dann durch [mm] 13^3 [/mm] teilbar ist).
> Ich hab die Frage mal wieder auf halb offen gestellt,
> vielleicht hat ja jemand eine schöne, feine Idee.
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Danke für eure Antworten!
Aber das letzte Argument habe ich noch nicht verstanden. Also [mm] 5x^3 [/mm] + [mm] 11y^3 [/mm] ist dann durch [mm] 13^3 [/mm] teilbar, soweit komme ich mit. [mm] 13z^3 [/mm] ist durch 13 teilbar. Aber warum muss z durch 13 teilbar sein?
Und warum schließt das die Existenz einer Lösung aus?
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> Danke für eure Antworten!
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> Aber das letzte Argument habe ich noch nicht verstanden.
> Also [mm]5x^3[/mm] + [mm]11y^3[/mm] ist dann durch [mm]13^3[/mm] teilbar, soweit komme
> ich mit. [mm]13z^3[/mm] ist durch 13 teilbar. Aber warum muss z
> durch 13 teilbar sein?
> Und warum schließt das die Existenz einer Lösung aus?
Angenommen, es gäbe eine nichttriviale Lösung (x,y,z). Mit Schadowmasters Argument folgt, dass dann x und y durch 13 teilbar sind. Daraus folgt, dass
[mm] 13z^3 [/mm] = [mm] -5x^3-11y^3 [/mm] durch [mm] 13^3 [/mm] teilbar ist und somit [mm] z^3 [/mm] durch [mm] 13^2 [/mm] teilbar ist, also muss z durch 13 teilbar sein.
Es gilt also $x=13*x'$, $y=13*y'$ und $z=13*z'$
Dann ist aber auch (x',y',z') eine Lösung. Diesen "Kürzen" kann man so oft wiederholen, bis mindestens eine der 3 Zahlen nicht mehr durch 13 teilbar ist, was einen Widerspruch zur ersten Überlegung ergibt, also kann keine nichttriviale Lösung existieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 07.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
Eine kleine Anmerkung: dieses Beweisverfahren nennt sich ![[]](/images/popup.gif) unendlicher Abstieg. Es wurde von Fermat "erfunden", er hat damit u.a. einen Beweis dafuer geliefert, dass [mm] $x^4 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] = [mm] z^4$ [/mm] keine nicht-triviale Loesung hat (Spezialfall vom letzten Satz von Fermat).
LG Felix
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Vielen Dank für die schnelle Beantwortung und die Erklärungen zu all meinen Fragen!
Ich bin euch wirklich dankbar 
Einen schönen Abend noch!
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