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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - kerne/Nilpotent/flagge
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kerne/Nilpotent/flagge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Di 18.09.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei V ein n dimensionaler [mm] \IK [/mm] Vektorraum, [mm] \phi [/mm] : V->V
Dann sind äquivalent:
1) [mm] \phi [/mm] ist nilpotent
2) [mm] \exists [/mm] Teilräume [mm] \{0\} [/mm] = [mm] V_0 \subseteq V_1 \subseteq..\subseteq V_r [/mm] =V sodass [mm] \phi(V_i [/mm] ) [mm] \subset V_{i-1} [/mm]


1->2
Eine Teilraumfolge wie in 2 ist durch
[mm] \{0\} [/mm] = [mm] ker(\phi^0) \subset ker(\phi)...\subset ker(\phi^r) [/mm] =V gegeben.

So eine Teilraumfolge hatten wir, aber wieso gilt nun die "strenge Inklusion" und [mm] \ker(\phi^r) [/mm] = V ?



        
Bezug
kerne/Nilpotent/flagge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Di 18.09.2012
Autor: fred97


> Sei V ein n dimensionaler [mm]\IK[/mm] Vektorraum, [mm]\phi[/mm] : V->V
>  Dann sind äquivalent:
>  1) [mm]\phi[/mm] ist nilpotent
>  2) [mm]\exists[/mm] Teilräume [mm]\{0\}[/mm] = [mm]V_0 \subseteq V_1 \subseteq..\subseteq V_r[/mm]
> =V sodass [mm]\phi(V_i[/mm] ) [mm]\subset V_{i-1}[/mm]
>  
> 1->2
>  Eine Teilraumfolge wie in 2 ist durch
>  [mm]\{0\}[/mm] = [mm]ker(\phi^0) \subset ker(\phi)...\subset ker(\phi^r)[/mm]
> =V gegeben.
>  
> So eine Teilraumfolge hatten wir, aber wieso gilt nun die
> "strenge Inklusion" und [mm]\ker(\phi^r)[/mm] = V ?


Wir können von [mm] \phi \ne [/mm] 0 ausgehen.

Obiges r ist der Nilpotenzindex von [mm] \phi, [/mm] d.h.: es ist [mm] \phi^r=0, [/mm] aber [mm] \phi^{r-1} \ne [/mm] 0.

Wegen  [mm] \phi^r=0 [/mm] ist [mm] \phi^r(x)=0 [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] V. Damit ist  [mm]\ker(\phi^r)[/mm] = V .

Jetzt nimm mal an,  für ein s<r wäre [mm] kern(\phi^s)=kern(\phi^{s+1}) [/mm]

Dann folgt (sowas hattest Du schon mal): [mm] kern(\phi^s)=kern(\phi^{s+k}) [/mm]  für alle k [mm] \ge [/mm] 0.

Dann wäre aber auch: [mm] kern(\phi^s)=kern(\phi^{r})=V [/mm] , also [mm] \phi^s=0. [/mm]

Somit würde der Widerspruch [mm] \phi^{r-1} [/mm] folgen.

FRED

>  
>  


Bezug
                
Bezug
kerne/Nilpotent/flagge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Di 18.09.2012
Autor: sissile

danke,ist nun klar.

Liebe Grüße

Bezug
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