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Ich habe folgende Funktion gegeben:
[mm] f(x)=cos^{2}(lnx)
[/mm]
Wenn ich diese jetzt ableiten will, nutze ich hier doch die Kettenregel.
Der gegebene Lösungsweg ist folgender:
[mm] f'(x)=(2cos(lnx))*(-sin(ln(x))*\bruch{1}{x}
[/mm]
Das ist doch das selbe wie:
[mm] f'(x)=(2cos(lnx)+cos^{2}*0*(-sin(ln(x))*\bruch{1}{x}
[/mm]
im Grund fällt ln abgeleitet weg, deswegen die 0.
Wie ist das bei folgender Aufgabe:
[mm] f(x)=cos(ln^{2}(x))
[/mm]
Als Lösungweg habe ich nun folgendes:
[mm] f'(x)=-sin(ln^{2}(x))*2ln(x)*\bruch{1}{x}
[/mm]
Meine Frage hier wäre, ob [mm] cos^{2} [/mm] abgeleitet 2cos ergibt, also [mm] sin^{2}=2sin
[/mm]
Wird cos alleine zu 0 nach der Ableitung?
Ich dachte nämlich, dass die letzte Funktion so abgeleite werden müsste:
[mm] f'(x)=1*(ln^{2})+cos*{0}*-sin(ln^{2}(x))*2ln(x)*\bruch{1}{x}
[/mm]
Ich würde gerne nochmal eine Bestätigung haben, dass ich da falsch lag.
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Hallo!
> Ich habe folgende Funktion gegeben:
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> [mm]f(x)=cos^{2}(lnx)[/mm]
>
> Wenn ich diese jetzt ableiten will, nutze ich hier doch die
> Kettenregel.
> Der gegebene Lösungsweg ist folgender:
>
> [mm]f'(x)=(2cos(lnx))*(-sin(ln(x))*\bruch{1}{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das ist doch das selbe wie:
> [mm]f'(x)=(2cos(lnx)+cos^{2}*0*(-sin(ln(x))*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> im Grund fällt ln abgeleitet weg, deswegen die 0.
Wie kommst du denn darauf? Im Allgemeinen gilt [mm] \bruch{d}{dx}ln(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
Es ist [mm] f(x)=cos^{2}(ln(x))=(x^{2}\circ(cos\circ(ln\circ{x})))
[/mm]
Mit [mm] \vektor{y\circ(x(t))}'=\bruch{dy}{dt}\cdot{}\bruch{dx}{dt}=y'\circ\vektor{x(t)}\cdot{}x'(t) [/mm] ergibt sich dann
[mm] \bruch{d}{dx}f(x)=2x\circ\vektor{(cos\circ(ln\circ{x}))*(-sin\circ(ln\circ{x}))*\bruch{1}{x}\circ{x}}=-\bruch{2}{x}cos(ln(x))*sin(ln(x))
[/mm]
Es kommt hier quasi zur Anwendung der Kettenregel innerhalb der Kettenregel.
> Wie ist das bei folgender Aufgabe:
>
> [mm]f(x)=cos(ln^{2}(x))[/mm]
>
> Als Lösungweg habe ich nun folgendes:
>
> [mm]f'(x)=-sin(ln^{2}(x))*2ln(x)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Meine Frage hier wäre, ob [mm]cos^{2}[/mm] abgeleitet 2cos ergibt,
> also [mm]sin^{2}=2sin[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Mit der bereits oben aufgeführten Kettenregel ergibt sich für
[mm] g(x)=cos^{2}(x)=x^{2}\circ{cos(x)}
[/mm]
die Ableitung zu
[mm] \bruch{d}{dx}g(x)=2x\circ{cos(x)}*(-sin(x))=-2cos(x)*sin(x)
[/mm]
> Wird cos alleine zu 0 nach der Ableitung?
An dieser Stelle vielleicht eine kleine Merkregel:
[mm] \bruch{d}{dx}sin(x)={cos(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}cos(x)={-sin(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}-sin(x)={-cos(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}-cos(x)={sin(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}sin(x)=...
[/mm]
> Ich dachte nämlich, dass die letzte Funktion so abgeleite
> werden müsste:
>
> [mm]f'(x)=1*(ln^{2})+cos*{0}*-sin(ln^{2}(x))*2ln(x)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Ich würde gerne nochmal eine Bestätigung haben, dass ich
> da falsch lag.
Die hast du.
Viele Grüße, Marcel
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Erstmal vorweg:
$ [mm] \bruch{d}{dx}f(x)=2x\circ\vektor{(cos\circ(ln\circ{x}))\cdot{}(-sin\circ(ln\circ{x}))\cdot{}\bruch{1}{x}\circ{x}} [/mm] $
Ist das x am Ende hier nicht zuviel nach deiner Erklärung oder wo verbleibt das dann?
Mein erstes Problem war, dass ich [mm] cos^{2} [/mm] nicht als [mm] x^{2}*cos [/mm] gesehen habe.
Was ich nicht so ganz verstehe ist, ist das - an dieser Aufgabe verdeutlicht:
[mm] x^{2}*sin^{4}*(3x-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
das ist dann ja das selbe wie
[mm] x^{2}*x^{4}*sin*(3x-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
richtig?
In meiner Lösung wird das so gelöst:
[mm] 2x*sin^{4}(3x-\bruch{\pi}{4})-x^{2}*4sin^{3}*(3x-\bruch{\pi}{4})*cos(3x-\bruch{\pi}{4})*3
[/mm]
Im Vergleich zur AUfgabe davor verstehe das minus nur so halb.
Wo liegt da mein Denkfehler?
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Hallo Mareike,
> Erstmal vorweg:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}f(x)=2x\circ\vektor{(cos\circ(ln\circ{x}))\cdot{}(-sin\circ(ln\circ{x}))\cdot{}\bruch{1}{x}\circ{x}}[/mm]
>
> Ist das x am Ende hier nicht zuviel nach deiner Erklärung
> oder wo verbleibt das dann?
Nein, das ist so ok. Marcel hat hier eine Schreibweise gewählt, in der [mm] \circ [/mm] so viel bedeutet wie "verkettet mit". Ich finde sie am leichtesten zu verstehen, wenn man sie von rechts nach links betrachtet:
Da steht x, und auf x wird die Operation 1/x angewandt. Das ist der ganz rechte Faktor, er ergibt also 1/x.
Dann haben wir im zweiten Faktor von rechts $ [mm] (-\sin\circ(\ln\circ [/mm] x)) $, also x, auf das die Operation [mm] \ln [/mm] angewandt wird, gibt [mm] \ln{x}, [/mm] und darauf wird die Operation [mm] \sin [/mm] angewandt (und noch mit (-1) multipliziert), ergibt also insgesamt [mm] -\sin{(\ln(x))}.
[/mm]
Usw.
Hier ging es doch darum, die mehrfache Anwendung der Kettenregel zu zeigen, daher auch die Wahl der Schreibweise.
> Mein erstes Problem war, dass ich [mm]cos^{2}[/mm] nicht als
> [mm]x^{2}*cos[/mm] gesehen habe.
Ist es ja auch nicht. In der Verkettungsschreibweise heißt [mm] x^2\circ\cos{(\text{blabla})}, [/mm] dass die Operation [mm] "x^2" [/mm] auf den [mm] \cos [/mm] angewandt wird, also herauskommt [mm] (\cos{(\text{blabla})})^2.
[/mm]
> Was ich nicht so ganz verstehe ist, ist das - an dieser
> Aufgabe verdeutlicht:
>
> [mm]x^{2}*sin^{4}*(3x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> das ist dann ja das selbe wie
>
> [mm]x^{2}*x^{4}*sin*(3x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> richtig?
Nein. Das ist das gleiche wie [mm] x^2*\left(\sin{\left(3x-\bruch{\pi}{4}\right)}\right)^4
[/mm]
> In meiner Lösung wird das so gelöst:
>
> [mm]2x*sin^{4}(3x-\bruch{\pi}{4})\ \red{-}\ x^{2}*4sin^{3}*(3x-\bruch{\pi}{4})*cos(3x-\bruch{\pi}{4})*3[/mm]
>
> Im Vergleich zur AUfgabe davor verstehe das minus nur so
> halb.
> Wo liegt da mein Denkfehler?
Wenn Du das Minuszeichen meinst, das ich rot markiert habe, dann solltest Du es auch besser nicht verstehen. Es ist nämlich falsch. Die Produktregel hat an dieser Stelle ein Plus, und das gehört da auch hin.
Interessanter ist die Frage, ob Du den rechten Teil der Ableitung (also ab [mm] x^2) [/mm] verstehst, denn da ist wieder das gleiche wie in der andern Funktion zu beachten, nämlich die zweimalige Anwendung der Kettenregel.
Leite doch mal diese Funktion ab, nur damit wir sehen, ob Du es wirklich verstanden hast:
[mm] f(x)=e^{\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}}
[/mm]
Nur um sicherzugehen: [mm] \sin^2{(x^3+1)}=\left(\sin{(x^3+1)}\right)^2
[/mm]
Grüße
reverend
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Ich glaube, ich habe verstande, dass die Aufgabe zuvor eine Kombination aus Kettenregel und Produktregel ist.
Bei deiner gestellten Aufgabe habe ich wirklich keine Ahnung, wie ich da vorgehen muss. [mm] e^{...}.
[/mm]
e abgeleitet ist doch e oder nicht?
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Hallo Mareike,
> Ich glaube, ich habe verstande, dass die Aufgabe zuvor eine
> Kombination aus Kettenregel und Produktregel ist.
> Bei deiner gestellten Aufgabe habe ich wirklich keine
> Ahnung, wie ich da vorgehen muss. [mm]e^{...}.[/mm]
> e abgeleitet ist doch e oder nicht?
[mm]e[/mm] abgeleitet ist 0, das ist eine Konstante!
Es ist gem. Kettenregel: [mm]\frac{d}{dx}\left(e^{g(x)}\right)=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich habe dann da raus
[mm] e^{\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}}\cdot{} -sin(ln(sin^{2}(x^{3}+1))*cos*\bruch{1}{sin^{2}(x^{3}+1)}*cos(x^{3}+1)*3x^{2} [/mm]
Ich weiß da nicht wo hinten und vorne ist.
Wie sind eure einzelnen Schritte, wenn man das wirklich Schritt für Schritt berechnen würde, weil ich das schnell sicher hinbekommen möchte bzw. muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Merk dir das : [mm] (e^x)'=e^x*(x)'
[/mm]
Also [mm] f(x)=e^{\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}}. [/mm] Dann gilt für die Ableitung : [mm] f'(x)=e^{\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}}*({\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}})'
[/mm]
Ableitung der Kosinusfunktion durch die Kettenregel :
[mm] ({\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}})'=-\sin{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})})*{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})})'
[/mm]
Ableitung der Logarithmusfunktion durch die Kettenregel :
[mm] {(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})})'=\bruch{1}{\sin^2{(x^3+1)}}(\sin^2{(x^3+1)})'
[/mm]
Ableitung der Sinusfunktion durch die Kettenregel :
[mm] (\sin^2{(x^3+1)})'=2\cos{(x^3+1)}(x^3+1)'= 6x^2\cos{(x^3+1)}
[/mm]
Also gilt insgesamt für die Ableitung von $f(x)$ :
[mm] f'(x)=e^{\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}}(-\sin{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}))\bruch{1}{\sin^2{(x^3+1)}}6x^2\cos{(x^3+1)}
[/mm]
Wie du siehst, musst du alles Schritt für Schritt machen, ansonsten wird es meistens zu unübersichtlich. Nadann, viel Spaß beim Zusammenfassen =)
mfG
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Nächster Schritt:
[mm] e^{\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}}\cdot{}(-sin{(\ln{(sin^2{(x^3+1)})})}*(\bruch{1}{sin^2{(x^3+1)})}))*(sin^2{(x^3+1)'}) [/mm]
Letzer Schritt
[mm] e^{\cos{(\ln{(\sin^2{(x^3+1)})})}}\cdot{}(-sin{(\ln{(sin^2{(x^3+1)})})}*(\bruch{1}{sin^2{(x^3+1)})})')*(2sin{(x^3+1)}*2x^{2}) [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Fast =)
[mm] (\sin^2{(x^3+1)})'=2\sin{(x^3+1)}\sin'(x^3+1)=2\sin{(x^3+1)}\cos(x^3+1)(x^3+1)'=2\sin{(x^3+1)}\cos(x^3+1)3x^2=6x^2\sin{(x^3+1)}\cos(x^3+1)
[/mm]
mfG
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:08 Sa 23.07.2011 | | Autor: | angela.h.b. |
> Fast =)
>
> [mm](\sin^2{(x^3+1)})'=2\cos{(x^3+1)}(x^3+1)'= 6x^2\cos{(x^3+1)}[/mm]
>
Hallo,
das ist nicht richtig.
Es ist ja [mm] sin^2(x^3+1)=(sin(x^3+1))^2,
[/mm]
und es ist
[mm] ((sin(x^3+1))^2)'=\green{2*sin(x^3+1)}*((sin(x^3+1))'
[/mm]
= ???
Das Grüne ist die äußere Ableitung, welche dann noch mit der inneren Ableitung, also der Ableitung von [mm] sin(x^3+1), [/mm] multipliziert werden muß.
Gruß v. Angela
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$ [mm] ((sin(x^3+1))^2)'=\green{2\cdot{}sin(x^3+1)}\cdot{}((cos(x^3+1))*3x^{2} [/mm] $
wäre das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
Ja.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Mareike85 |
Da werde ich nochmal drüber schlafen müssen, aber im Prinzip weiß ich jetzt zumindestens, wie man vorgehen kann. Schritt für Schritt ist für mich auf jeden Fall der richtige Modus :)
Danke sehr!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:16 So 24.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Mareike,
die monströse Funktion meiner Aufgabe hatte ja nur den Zweck, viele Verkettungen nacheinander zu bieten, die sich nicht vor dem Ableiten anders zusammenfassne lassen - und nach dem Ableiten auch nicht besonders gut.
Aber das schrittweise Durcharbeiten "von außen nach innen" ist Dir dabei hoffentlich deutlich geworden.
Die Kettenregel ist u.U. mehrmals hintereinander anzuwenden, eben so oft, wie eine Funktion ineinander verschachtelt ist. Dazu genügt es, die allgemeine Form der Kettenregel zu kennen: (f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)
Daraus kann man sich dann ganz mechanisch die mehrfachen Verschachtelungen herleiten, also sowas wie
$ (f(g(h(s(t(x))))))'=f'(g(h(s(t(x)))))*g'(h(s(t(x))))*h'(s(t(x)))*s'(t(x))*t'(x) $
Das will doch kein Mensch auswendig lernen, und es ist glücklicherweise auch nicht nötig. Es geht, wie Du sagst, "stufenweise" - man kann es einfach abarbeiten.
Viel Erfolg!
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 23.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst auf keinen Fall für [mm] f\circ [/mm] geinfach f*g schreiben.
Das verwirrt dich und andere,
Auch mich verwirrt marcels Notation, der für die Funktion "Quadrieren" abgekürzr [mm] x^2 [/mm] schreibt.
damit meint er [mm] x^2\circ [/mm] cos(x) das Quadrieren wird auf cosx angewandt.
man kann unt tut [mm] f(g(h(x)))=f\circ [/mm] g [mm] \circ h\circ [/mm] x schreiben, dich scheint das zu verwirren.
du schreibst
[mm]f(x)=x^{2}*sin^{4}*(3x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
dann wirfst du [mm] \circ [/mm] =zusammengesetzt mit und * =mal durcheinander
wenn du [mm] cos^2(x) [/mm] betrachtest gibt es 2 Möglichkeiten:
1. [mm] cos^2(x)=cos(x)*cos(x) [/mm] Produktregel anwenden
2, [mm] (cos(x))^2 [/mm] wenn du [mm] f(x)=x^2 [/mm] den Funktionsnamen qu gibst hast du qu(cos(x)) oder [mm] qu\circ cos\circ [/mm] id wobei id die funktion f(x)=x also die identität ist, die marcel wieder als x schreibt.
jetzt zu deiner fkt
[mm] f(x)=x^{2}*sin^{4}*(3x-\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
1. Das ist ein produkt von 2 Funktionen, also Produktregel
innerhalb der Produktregel muss man [mm] (sin(3x-\bruch{\pi}{4})^4 [/mm] ableiten:innerste Funktion [mm] h(x)=3x-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
nächste Funktion sin(h(x))
äußerste Funktion Hoch4(sin(u(x)))oder eben [mm] Hoch4\circ [/mm] sin [mm] \circ (3*id-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
ich find es einfacher f(g(h)) zu schreiben mit [mm] f(x)=x^4,f=Hoch4 [/mm] g(x)=sinx
g=sin [mm] h(x)=3x-\bruch{\pi}{4} h=3*Id-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
und (f(g(h)))'=f'(g,h)*(g(h))' mit (g(h))'=g'(h)'h'
also insgesamt
(f(g(h)))'=f'(g(h))*g'(h)*h'
[mm] f'(g(h))=4*sin^3(3x-\bruch{\pi}{4})*cos(3x-\bruch{\pi}{4})*3
[/mm]
> Erstmal vorweg:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}f(x)=2x\circ\vektor{(cos\circ(ln\circ{x}))\cdot{}(-sin\circ(ln\circ{x}))\cdot{}\bruch{1}{x}\circ{x}}[/mm]
das letzte [mm] \circ [/mm] x heisst hier einfach alles davor auf x anwenden.
>
> Ist das x am Ende hier nicht zuviel nach deiner Erklärung
> oder wo verbleibt das dann?
>
> Mein erstes Problem war, dass ich [mm]cos^{2}[/mm] nicht als
> [mm]x^{2}*cos[/mm] gesehen habe.
>
> Was ich nicht so ganz verstehe ist, ist das - an dieser
> Aufgabe verdeutlicht:
>
> [mm]x^{2}*sin^{4}*(3x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> das ist dann ja das selbe wie
>
> [mm]x^{2}*x^{4}*sin*(3x-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> richtig?
>
> In meiner Lösung wird das so gelöst:
>
> [mm]2x*sin^{4}(3x-\bruch{\pi}{4})-x^{2}*4sin^{3}*(3x-\bruch{\pi}{4})*cos(3x-\bruch{\pi}{4})*3[/mm]
>
> Im Vergleich zur AUfgabe davor verstehe das minus nur so
> halb.
> Wo liegt da mein Denkfehler?
nirgends, richtig ist das + also
[mm] $2x*sin^{4}(3x-\bruch{\pi}{4})+x^{2}*4sin^{3}*(3x-\bruch{\pi}{4})*cos(3x-\bruch{\pi}{4})*3$
[/mm]
Gruss leduart
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