kgz von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und auf absolute Konvergenz
[mm] (i)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i(\wurzel[i]{4}-1)
[/mm]
[mm] (ii)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{\wurzel[3]{i}}
[/mm]
[mm] (iii)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{\wurzel[i]{i}}
[/mm]
[mm] (iv)\summe_{i=1}^{\infty}{\wurzel[i]{i*ln(i)}} [/mm] |
also bei (i) würde ich sagen an ist eine nullfolge, mit leibniz gilt reihe ist kgt und sogar abs kgt
[mm] (ii)\bruch{1}{\wurzel[3]{i}} [/mm] geht auch gegen null, bin mir aber nicht sicher ob sie auch abs kgt ist
bei (iii) [mm] \bruch{1}{\wurzel[i]{i}} [/mm] müsste gelten, geht gegen eins weil [mm] \wurzel[i]{i} [/mm] auch gegen eins geht, da aber
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel[i]{i}} [/mm] divergent ist, ist (iii)
nur bestimmt kgt...
(iv)könnt sagen: [mm] an=\wurzel[i]{i}*\wurzel[i]{ln(i)}=1*\wurzel[i]{ln(i)} (i\to\infty), [/mm] aber wogegen geht [mm] \wurzel[i]{ln(i)}?
[/mm]
könnt das jemand kontrollieren und mir tipps geben wie man das mathematischer beweist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Sa 14.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und auf
> absolute Konvergenz
> [mm](i)\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i(\wurzel[i]{4}-1)[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [mm](ii)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{\wurzel[3]{i}}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [mm](iii)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{\wurzel[i]{i}}[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [mm](iv)\summe_{i=1}^{\infty}{\wurzel[i]{i*ln(i)}}[/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] also bei (i) würde ich sagen an ist eine nullfolge, mit [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]leibniz gilt reihe ist kgt und sogar abs kgt[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [mm](ii)\bruch{1}{\wurzel[3]{i}}[/mm] geht auch gegen null, bin mir [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]aber nicht sicher ob sie auch abs kgt ist[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] bei (iii) [mm]\bruch{1}{\wurzel[i]{i}}[/mm] müsste gelten, geht gegen [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]eins weil [mm]\wurzel[i]{i}[/mm] auch gegen eins geht, da aber [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel[i]{i}}[/mm] divergent ist, [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]ist (iii)[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] nur bestimmt kgt...[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] (iv)könnt sagen: [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm]an=\wurzel[i]{i}*\wurzel[i]{ln(i)}=1*\wurzel[i]{ln(i)} (i\to\infty),[/mm] [/i][/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][i][i]aber wogegen geht [mm]\wurzel[i]{ln(i)}?[/mm][/i][/mm][/i][/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][i][i][mm][i] könnt das jemand kontrollieren und mir tipps geben wie man [/i][/mm][/i][/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][i][i][mm][i]das mathematischer beweist?[/i][/mm][/i][/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][i][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
Hallo,
die i-te Wurzel einer Zahl ist >1, wenn die Zahl selbst auch >1 ist.
Der Wert für ln i ist größer als 1, sobald i>e gilt, also ab i=3.
Damit wird ab i=3 auch die i-te Wurzel aus ln i immer größer als 1 sein.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
wow danke, daran habich garnit gedacht, obwohldas völlig logisch ist.
auch danke für die antwort beim anderen thema
aber was ist mit den aufg 1-3?
|
|
|
| |
|
Siehe meine Antwort zum anderen posting 
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
ja aber was ist stärker, die wurzel oder ln....wenn wurzel stärker ist ist der grenzwert 1,aber was is jetzt der grenzwert????
|
|
|
| |
|
> ja aber was ist stärker, die wurzel oder ln....wenn wurzel
> stärker ist ist der grenzwert 1,aber was is jetzt der
> grenzwert????
Hallo,
es hat Dir abakus doch schon alles Notwendige gesagt, vielleicht faßt Du es nochmal für Dich zusammen.
Aus den von ihm genannten Gründen ist
[mm] \lim_{i\to \infty} {\wurzel[i]{i\cdot{}ln(i)}} \ge [/mm] 1.
Was ist die Konsequenz für die Reihe?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> also bei (i) würde ich sagen an ist eine nullfolge, mit leibniz gilt reihe ist kgt und sogar abs kgt
Nur Nullfolge reicht nicht für Leibnitz. Wieso ist die Reihe auch absolut konvergent?
zu (ii): [mm]\bruch{1}{i} < \bruch{1}{\wurzel[3]{i}}[/mm] ansonsten Leibnitz
zu (iii): wieso bestimmt konvergent? Was ist ein notwendiges Kriterium für konvergente Reihen?
zu (iv) hat sich mein vorposter ja schön geäußert.
|
|
|
| |
|
(i)oje dann hab ich leibniz falsch verstanden...ich dachte es reicht einfach wenn an ne nullfolge ist und abs kgt ist doch wenn die reihe ohne [mm] (-1^i) [/mm] auch kgt ist
(ii) also mit [mm] \bruch{1}{i} [/mm] ist abs kgt, was sagt mir das wenn jetzt
> [mm]\bruch{1}{i} < \bruch{1}{\wurzel[3]{i}}[/mm]
(iii) ja da hab ich mir gedacht bei i genügend groß gehts immer +1-1+1-1...also hebt sich auf...ohne das alterniernde würde es ja 1+1+1+1+1 heißen und könnte so nicht kgt sein
|
|
|
| |
|
> (i)oje dann hab ich leibniz falsch verstanden...
Für Leibnitz fehlt noch die Monotonie, die ist wichtig.
ich dachte
> abs kgt ist doch wenn die reihe ohne [mm](-1^i)[/mm] auch kgt ist
In diesem Fall schon, nur du hast ja nicht begründet, wieso die Reihe ohne [mm](-1^i)[/mm] überhaupt konvergiert
> (ii) also mit [mm]\bruch{1}{i}[/mm] ist abs kgt
öhm nein, das ist doch DAS Gegenbeispiel für eine Nullfolge, deren Reihe divergiert und nennt sich harmonische Reihe.
> was sagt mir das
> wenn jetzt
> > [mm]\bruch{1}{i} < \bruch{1}{\wurzel[3]{i}}[/mm]
Wenn das gilt, was gilt dann für die Reihen? Und wenn die Reihe zu [mm] \bruch{1}{i} [/mm] divergiert, was ist dann mit der grösseren?
> (iii) ja da hab ich mir gedacht bei i genügend groß gehts
> immer +1-1+1-1...also hebt sich auf...ohne das alterniernde
> würde es ja 1+1+1+1+1 heißen und könnte so nicht kgt sein
Ja, es geht auch immer +1-1+1-1..... usw. nur was ist denn nun der Grenzwert? Wie war die Definition eines Grenzwertes und wieso ist die hier nicht erfüllt?
Was ist das NOTWENDIGE Kriterium für konvergente Reihen?
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
> Für Leibnitz fehlt noch die Monotonie, die ist wichtig.
stimmt...davon geh ich leider immer aus...danke, werde nächste mal dran denken
> In diesem Fall schon, nur du hast ja nicht begründet, wieso
> die Reihe ohne [mm](-1^i)[/mm] überhaupt konvergiert
ja stimmt...sry, hab ich vergessen
> > (ii) also mit [mm]\bruch{1}{i}[/mm] ist abs kgt
>
> öhm nein, das ist doch DAS Gegenbeispiel für eine
> Nullfolge, deren Reihe divergiert und nennt sich
> harmonische Reihe.
ja aber wir reden ja von der alternierenden harmonische reihe, die is nämlich kgt...das kam bei meinen fragen vll bisschen durcheinander...meinte natürlich die komplette reihe
> > was sagt mir das
> > wenn jetzt
> > > [mm]\bruch{1}{i} < \bruch{1}{\wurzel[3]{i}}[/mm]
>
> Wenn das gilt, was gilt dann für die Reihen? Und wenn die
> Reihe zu [mm]\bruch{1}{i}[/mm] divergiert, was ist dann mit der
> grösseren?
ja aber auch hier alternierend
> Ja, es geht auch immer +1-1+1-1..... usw. nur was ist denn
> nun der Grenzwert? Wie war die Definition eines Grenzwertes
> und wieso ist die hier nicht erfüllt?
> Was ist das NOTWENDIGE Kriterium für konvergente Reihen?
vll das an eine nullfolge ist? und da es bei 1 bleibt ist es keine nullfolge...
aber ich dachte jetzt weil sich das immer aufhebt, wächst die summe nicht und könnte somit kgt sein...weil die summe ja dann beschränkt wäre, aber das is wohl nen falscher gedanke???
und entschuldigung für meine unvollständigen begründungen, es geht mir mehr darum ob ich es verstanden hab als richtig zu formulieren
|
|
|
| |
|
> > > (ii) also mit [mm]\bruch{1}{i}[/mm] ist abs kgt
> >
> > öhm nein, das ist doch DAS Gegenbeispiel für eine
> > Nullfolge, deren Reihe divergiert und nennt sich
> > harmonische Reihe.
> ja aber wir reden ja von der alternierenden harmonische
> reihe, die is nämlich kgt...das kam bei meinen fragen vll
> bisschen durcheinander...meinte natürlich die komplette
> reihe
> > > was sagt mir das
> > > wenn jetzt
> > > > [mm]\bruch{1}{i} < \bruch{1}{\wurzel[3]{i}}[/mm]
> >
> > Wenn das gilt, was gilt dann für die Reihen? Und wenn die
> > Reihe zu [mm]\bruch{1}{i}[/mm] divergiert, was ist dann mit der
> > grösseren?
> ja aber auch hier alternierend
Hallo,
ich rolle das nochmal von vorn auf.
Du sinnierst über die Konvergenz von
$ [mm] (ii)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{\wurzel[3]{i}} [/mm] $.
Absolut konvergent ist die Reihe nicht, dann es ist [mm] \bruch{1}{i} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{i}}, [/mm] und da die harmonische Reihe nicht konvergiert, konvergiert [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel[3]{i}} [/mm] nicht.
Damit ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{\wurzel[3]{i}} [/mm] nicht absolut konvergent.
Für die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{\wurzel[3]{i}} [/mm] bemühe nun das Leibniz-Kriterium.
Dazu mußt Du noch herausfinden, ob [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{i}} [/mm] monoton fällt. (Nullfolge ist ja bereits klar.)
> > Ja, es geht auch immer +1-1+1-1..... usw. nur was ist denn
> > nun der Grenzwert? Wie war die Definition eines Grenzwertes
> > und wieso ist die hier nicht erfüllt?
> > Was ist das NOTWENDIGE Kriterium für konvergente
> Reihen?
> vll das an eine nullfolge ist? und da es bei 1 bleibt ist
> es keine nullfolge...
Ja.
> aber ich dachte jetzt weil sich das immer aufhebt, wächst
> die summe nicht und könnte somit kgt sein...
Das hebt sich ja nicht immer auf:
1=1
0=1-1
1=1-1+1
0=1-1+1-1
[mm] \vdots
[/mm]
> weil die summe
> ja dann beschränkt wäre, aber das is wohl nen falscher
> gedanke???
Aus der Beschränkung folgt ja nicht die Konvergenz.
Sondern aus Monotonie mit gleichzeitiger Beschränktheit.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
