kleine Frage zum integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abend,
Eine kurze Frage:Wenn eine Fkt.zb. für p=1 [mm] ,|f|^1 [/mm] integrierbar ist,ist sie dann auch automatisch zb für p=2 integrierbar?
LG
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> Abend,
Hallo!
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> Eine kurze Frage:Wenn eine Fkt.zb. für p=1 [mm],|f|^1[/mm]
> integrierbar ist,ist sie dann auch automatisch zb für p=2
> integrierbar?
Nein, betrachte [mm] f(x)=\frac{1}{\wurzel{x}} [/mm] auf M=(0,1].
Dann ist [mm] $\int_M [/mm] |f| dx = [mm] 2\wurzel{x} \; |_{x=0}^{x=1} [/mm] = 2 < [mm] \infty$
[/mm]
Aber [mm] $\int_M |f|^2 [/mm] dx = [mm] \int_0^1 \frac{1}{x} [/mm] dx = [mm] ln(x)\; |_{x=0}^{x=1} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Gruß
Patrick
>
> LG
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Hallo
Stimmt,eigentlich eine dumme Frage^^.Ich hab noch so eine;),dass : [mm] L^1([0,1]) \subset L^2([0,1]) [/mm] gilt doch nicht oder?Nur umgekehrt?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
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> Stimmt,eigentlich eine dumme Frage^^.Ich hab noch so
> eine;),dass : [mm]L^1([0,1]) \subset L^2([0,1])[/mm] gilt doch nicht
> oder?
nein, Patrick hat doch insbesondere eine [mm] $L^1([0,1])$-Funktion [/mm] angegeben, die nicht in [mm] $L^2([0,1])$ [/mm] liegt (setze einfach für [mm] $x_0=0$ [/mm] dann [mm] $f(x_0)=f(0):=0\,,$ [/mm] das ist eh für das Integral dann uninteressant, da [mm] $\{x_0\}$ [/mm] eine Lebesguesche Nullmenge ist).
(Würde [mm] $L^1([0,1]) \subset L^2([0,1])$ [/mm] gelten, so müßte die Funktion $f: [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto f(x):=\frac{1}{\sqrt{x}}$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] (0,1]$) und [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] auch $f [mm] \in L^2([0,1])$ [/mm] erfüllen, was sie aber nicht tut!)
> Nur umgekehrt?
Ja, das gilt sogar allgemeiner:
Ist [mm] $(\Omega,\sigma,\mu)$ [/mm] ein endlicher ![[]](/images/popup.gif) Maßraum, so gilt [mm] $L^q (\Omega, \sigma, \mu; [/mm] E) [mm] \subset L^p (\Omega, \sigma, \mu; [/mm] E)$ für $1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] q [mm] \le \infty$ [/mm] (vgl. Wiki, Lp-Raum); und das Lebesguemaß auf [mm] $\Omega=[0,1]$ [/mm] ist ein endliches Maß.
Der Beweis ist für $1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] q < [mm] \infty$ [/mm] auch nicht schwer:
Denn etwa nach der Hölder-Ungleichung gilt für $f [mm] \in L^q (\Omega, \sigma, \mu; [/mm] E)$, wenn $1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] q < [mm] \infty$ [/mm] ist:
Zunächst ist klar, dass [mm] $\exists [/mm] a [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $\frac{p}{q}+a=1\,,$ [/mm] d.h. [mm] $a=1-\frac{p}{q}=\frac{q-p}{q} \ge 0\,.$ [/mm] Ich beschränke mich auf den Fall, den Beweis für $a > 0$ zu führen:
Wir setzen [mm] $r:=\frac{1}{\frac{p}{q}}=\frac{q}{p}$ [/mm] und [mm] $s:=\frac{1}{a}=\frac{q}{q-p}\,.$
[/mm]
Dann gilt nach Hölder mit [mm] $I_\Omega=1$ [/mm] (d.h. [mm] $I_\Omega(x):=1$ [/mm] für alle $x [mm] \in \Omega$, [/mm] insbesondere also [mm] $|I_\Omega|=1=I_\Omega$):
[/mm]
[mm] $$\|f\|_p^p=\int_\Omega |f(x)|^p\;d\mu(x)=\int_\Omega |f(x)|^p I_\Omega(x)\;d\mu(x)=\|\;|f|^p\,*\,I_\Omega\;\|_1 \le \|\,|f|^p\,\|_r\;*\;\|I_\Omega\|_s\,.$$
[/mm]
Weiter ist (ich schreibe nun kurz [mm] $\int |f|^p$ [/mm] anstatt [mm] $\int_\Omega |f(x)|^p\,d\mu(x)$ [/mm] etc.) wegen $f [mm] \in L^q (\Omega, \sigma, \mu; [/mm] E)$ hier
[mm] $$\|\,|f|^p\,\|_r=\Big(\int |f|^{pr}\Big)^{1/r}=\left(\Big(\int |f|^q\Big)^{1/q}\right)^p=\|f\|_q^{\;p} [/mm] < [mm] \infty\,,$$
[/mm]
und außerdem ergibt sich
[mm] $$\|I_\Omega\|_s=\Big(\int 1^s\Big)^{1/s} \le \big(\mu(\Omega)\big)^{1/s}=\big(\mu(\Omega)\big)^{\frac{q-p}{q}}\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$\|f\|_p^p \le \underbrace{\|f\|_q^{\;p}}_{\substack{< \infty\\\text{wegen }f \in L^q}}\;*\;\underbrace{\big(\mu(\Omega)\big)^{\frac{q-p}{q}}}_{\substack{< \infty\\\text{da }\mu(\Omega) < \infty}}< \infty\,,$$
[/mm]
und damit $f [mm] \in L^q(\Omega,\sigma,\mu; [/mm] E)$ erkannt.
Insbesondere läßt sich hieraus sofort die Beziehung
[mm] $$\frac{\|f\|_p}{\Big(\mu(\Omega)\Big)^{1/p}} \le \frac{\|f\|_q}{\Big(\mu(\Omega)\Big)^{1/q}}$$
[/mm]
ablesen (durch Anwendung der [mm] $\,p$-ten [/mm] Wurzel).
Gruß,
Marcel
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