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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:42 Di 11.04.2006 | | Autor: | EasyLee |
Hallo Leute!
Zeige [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm]
Wie kann ich ohne Hilfe des Hilfsatzes im IS zeigen , dass
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] ist? Das muss doch gehen oder?
Bin versucht so was zu machen:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} +\bruch{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!(2n+2-k)}{k!(n+1-k)!}
[/mm]
Weiter is nich. Geht das überhaupt so oder hab ich hier heftig was
nicht gerafft? Please help! Danke!
EasyLee
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Eine leichte Variante das zu zeigen geht über den binomischen Lehrsatz...
[mm] $(x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k y^{n-k}$
[/mm]
Setze einfach $x = y = 1$ und Du bist fertig. Wenn Du das nicht machen möchtest, dann bietet sich an, die folgende Formel für Binomialkoeffizienten im IS zu verwenden:
${n + 1 [mm] \choose [/mm] k} = {n [mm] \choose [/mm] k} + {n [mm] \choose [/mm] k-1}$
Diese Formel läßt sich recht einfach elementar über die Definition der Binomialkoeffizienten über die Fakultäten beweisen... und damit kommst Du bestimmt auch zum Ziel. 
Viel Erfolg!
Gnometech
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