kleinsteSig-Algebra auf]a,a+1[ < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Die [mm] \sigma [/mm] - Algebra der Borelmengen ist die kleinste [mm] \sigma [/mm] - Algebra, die alle Intervalle ]a,a+1[ enthält (a [mm] \in \IR). [/mm] |
Hallo,
wir sollen bei dem Beweis ähnlich wie im Skript vorgehen, darum poste ich einen Auszug aus unserem Skript:
Satz: Es sei A die kleinste [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \IR, [/mm] die alle Intervalle der Form [a, [mm] \infty[ [/mm] enthält. Dann stimmt A mit der [mm] \sigma [/mm] - Algebra B aller Borelmengen überein.
Beweis: Sicher ist A in B enthalten, denn alle [a, [mm] \infty[ [/mm] sind Borelmengen. Die anderen Inklusion beweisen wir in mehreren Schritten.
1. Schritt: A enthält alle Intervalle der Form ]a, [mm] \infty [/mm] [. Das kann man zum Beispiel dadurch begründen, dass ]a, [mm] \infty [/mm] [ = [mm] \bigcup_{n \in \IN} [a+\bruch{1}{n}, \infty[
[/mm]
2. Schritt: A enthält alle Intervalle der Form ]a,b[. (Begründung: Es ist ]a,b[ = ]a, [mm] \infty[ \backslash [/mm] [b, [mm] \infty[)
[/mm]
3. Schritt: A enthält alle offenen Intervalle. (Für die beschränkten Intervalle wurde das schon gezeigt, die noch fehlenden enthält man durch Bilden abzählbarer Vereinigungen. Zum Beispiel ist ]- [mm] \infty [/mm] , a[ = [mm] \bigcup_{n \in \IN} [/mm] ]-n,a[.)
4. Schritt: A enthält alle offenen Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Sei dazu O offen in [mm] \IR. [/mm] Ist q [mm] \in [/mm] O eine rationale Zahl, so bezeichne [mm] I_q [/mm] das maximale offene Intervall, das q enthält un in O liegt. [mm] (I_q [/mm] ist die Bereinigung aller offenen Intervalle, die q enthalten und in O enthalten sind.) Nach Schritt 3 ist [mm] I_q [/mm] in A, und nun ist nur noch zu beachten, dass O als die (abzählbare!) Vereinigung aller [mm] I_q [/mm] mit q [mm] \in [/mm] O geschrieben werden kann.
Mein Problem ist, dass nicht verstehe wie ich den Beweis auf meine Aufgabe anwenden soll, weil mein Intervall offen ist und das im Skript nicht. Meiner Meinung nach sind Schritt 1,2 und 3 doch gemacht worden um zu zeigen dass A die offenen Intervalle enthält oder nicht?
Ich kann ja schlecht die ersten Schritte alle weglassen.
Vorallem ist mir auch unklar, warum diese ganzen Schritte gezeigt werden. Anhand der Definition hätte ich nicht gewusst, dass man zeigen muss dass diese Intervalle enthalten sind.
Ich hoffe ihr könnte mich aufklären ob bei mir ein Denkfehler vorliegt und wie ich an den Beweis gehen soll.
Vielen Dank!
lg
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:39 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Ayame |
hallo
ich würde das ganz anders lösen
z.z.: [mm] \sigma(]a,a+1[)= \sigma(B) [/mm] , B= Borelmengen
i) sigma(]a,a+1[) [mm] \subset \sigma(B) [/mm] ist trivial
ii) [mm] \sigma(]a,a+1[) \supset \sigma(B) [/mm] musst du nur noch zeigen
in deiner [mm] \sigma [/mm] - Algebra sollen ja alle offenen Intervalle ]a,a+1[ sein
[mm] \bigcup_{a \in \IR}^{} [/mm] ]a,a+1[ = [mm] \IR [/mm] und so weiter....
Ich lass die Frage mal halboffen :)
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