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| Aufgabe | [mm] M_{1} [/mm] . [mm] \underrightarrow{f_1} [/mm] . [mm] M_{2} [/mm] . [mm] \underrightarrow{f_2} [/mm] . [mm] M_{3} [/mm] . [mm] \underrightarrow{f_3} [/mm] . [mm] M_{4} [/mm] . [mm] \underrightarrow{f_4} [/mm] . [mm] M_{5}
[/mm]
[mm] \downarrow{h_1} [/mm] . [mm] \downarrow{h_2} [/mm] . [mm] \downarrow{h_3} [/mm] . [mm] \downarrow{h_4} [/mm] . [mm] \downarrow{h_5} [/mm]
[mm] N_{1} [/mm] . [mm] \underrightarrow{g_1} [/mm] . [mm] N_{2} [/mm] . [mm] \underrightarrow{g_2} [/mm] . [mm] N_{3} [/mm] . [mm] \underrightarrow{g_3} [/mm] . [mm] N_{4} [/mm] . [mm] \underrightarrow{g_4} [/mm] . [mm] N_{5}
[/mm]
Dies ist ein komm diagramm abelscher Gruppen.
Beide horizont. Sequenzen sind exakt
AUFGABE:
beweise: Wenn [mm] h_{1} [/mm] surjektiv und [mm] h_{2}, h_{4} [/mm] injektiv, dann ist [mm] h_{3} [/mm] injektiv |
Hallo, ich habe mal zuerst mal eine Frage zum Diagramm:
* ist [mm] kern(f_{4})=kern(h_{4}) [/mm] ?
* ist [mm] kern(h_4)=im(f_3)? [/mm] nein oder? es ist ja nur gesagt, dass die horizontalen sequenzen exakt sind.
--------------
so, hier kommt mein Lösungsvorschlag:
[mm] h_{2} [/mm] , [mm] h_{4} [/mm] jeweils injektiv -> [mm] kern(h_2)=kern(h_4)=0
[/mm]
aus exakt folgt:
[mm] im(f_2)=kern(f_3)=?=0
[/mm]
[mm] \gdw kern(h_3)=0
[/mm]
[mm] \gdw h_3 [/mm] injektiv
ich weiß nicht wie ich zeigen kann, dass der [mm] kern(f_3)=0 [/mm] ist; ich habe ja auch nicht verwendet, dass [mm] h_1 [/mm] surjektiv ist.Ich weiß nicht, wie ich das geschickt einbauen könnte. Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie man das einbauen könnte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 So 08.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]M_{1}[/mm] . [mm]\underrightarrow{f_1}[/mm] . [mm]M_{2}[/mm] .
> [mm]\underrightarrow{f_2}[/mm] . [mm]M_{3}[/mm] . [mm]\underrightarrow{f_3}[/mm] .
> [mm]M_{4}[/mm] . [mm]\underrightarrow{f_4}[/mm] . [mm]M_{5}[/mm]
>
> [mm]\downarrow{h_1}[/mm] . [mm]\downarrow{h_2}[/mm] . [mm]\downarrow{h_3}[/mm]
> . [mm]\downarrow{h_4}[/mm] . [mm]\downarrow{h_5}[/mm]
>
> [mm]N_{1}[/mm] . [mm]\underrightarrow{g_1}[/mm] . [mm]N_{2}[/mm] .
> [mm]\underrightarrow{g_2}[/mm] . [mm]N_{3}[/mm] . [mm]\underrightarrow{g_3}[/mm] .
> [mm]N_{4}[/mm] . [mm]\underrightarrow{g_4}[/mm] . [mm]N_{5}[/mm]
>
> Dies ist ein komm diagramm abelscher Gruppen.
> Beide horizont. Sequenzen sind exakt
>
> AUFGABE:
> beweise: Wenn [mm]h_{1}[/mm] surjektiv und [mm]h_{2}, h_{4}[/mm] injektiv,
> dann ist [mm]h_{3}[/mm] injektiv
> Hallo, ich habe mal zuerst mal eine Frage zum Diagramm:
> * ist [mm]kern(f_{4})=kern(h_{4})[/mm] ?
> * ist [mm]kern(h_4)=im(f_3)?[/mm] nein oder? es ist ja nur gesagt,
> dass die horizontalen sequenzen exakt sind.
> --------------
> so, hier kommt mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]h_{2}[/mm] , [mm]h_{4}[/mm] jeweils injektiv -> [mm]kern(h_2)=kern(h_4)=0[/mm]
>
> aus exakt folgt:
> [mm]im(f_2)=kern(f_3)=?=0[/mm]
> [mm]\gdw kern(h_3)=0[/mm]
> [mm]\gdw h_3[/mm] injektiv
>
> ich weiß nicht wie ich zeigen kann, dass der [mm]kern(f_3)=0[/mm]
> ist; ich habe ja auch nicht verwendet, dass [mm]h_1[/mm] surjektiv
> ist.Ich weiß nicht, wie ich das geschickt einbauen könnte.
Die Aufgabe stellt eine Beziehung zwischen [mm] $h_1$, $h_2$, $h_3$ [/mm] und [mm] $h_4$ [/mm] her. Daher ist es offensichtlich, dass du mehr als ein oder zwei Relationen benutzen musst. Nutze die Exaktheit und Kommutativität konsequent aus.
Zum Beispiel: Kommutativität: [mm] $h_4 \circ f_3 [/mm] = [mm] g_3\circ h_3$. [/mm] Da [mm] $h_4$ [/mm] injektiv ist, ist [mm] $\ker(h_4 \circ f_3) [/mm] = [mm] \ker(f_3) =\mathop{\mathrm{Im}}(f_2)$. [/mm] Also ist [mm] $\ker(g_3\circ h_3) [/mm] = [mm] \mathop{\mathrm{Im}}(f_2) \implies \ker(h_3) \subseteq \mathop{\mathrm{Im}}(f_2) [/mm] $.
Entweder du machst von hier aus direkt weiter, oder du könntest jetzt annehmen, dass es ein von 0 verschiedenes [mm] $x\in M_3$ [/mm] mit [mm] $h_3(x)=0$ [/mm] gäbe und einen Widerspruch konstruieren.
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
> Zum Beispiel: Kommutativität: [mm]h_4 \circ f_3 = g_3\circ h_3[/mm].
> Da [mm]h_4[/mm] injektiv ist, ist [mm]\ker(h_4 \circ f_3) = \ker(f_3) =\mathop{\mathrm{Im}}(f_2)[/mm].
wieso folgt das aus injektivität?
> Also ist [mm]\ker(g_3\circ h_3) = \mathop{\mathrm{Im}}(f_2) \implies \ker(h_3) \subseteq \mathop{\mathrm{Im}}(f_2) [/mm].
>
im [mm] (f_2)=kern(f_3) [/mm] (Exaktheit)
[mm] \rightarrow(h3) \subseteq kern(f_3)=kern(h_3)
[/mm]
Da [mm] h_{4} [/mm] injektiv ist, ist [mm] kern(h_4)=0=im(f_3)
[/mm]
[mm] \Rightarrow kern(h_3)=o
[/mm]
[mm] \Rightarrow h_{3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow h_{3} [/mm] injektiv
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mo 09.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
>
> > Zum Beispiel: Kommutativität: [mm]h_4 \circ f_3 = g_3\circ h_3[/mm].
> > Da [mm]h_4[/mm] injektiv ist, ist [mm]\ker(h_4 \circ f_3) = \ker(f_3) =\mathop{\mathrm{Im}}(f_2)[/mm].
>
> wieso folgt das aus injektivität?
Es ist doch [mm] $\ker(h_4) [/mm] = 0$, also [mm] $h_4^{-1}(0) [/mm] = 0$. Daher:
[mm] \ker(h_4 \circ f_3) = f_3^{-1}(h_4^{-1}(0)) = f_3^{-1}(0) = \ker(f_3)[/mm].
> > Also ist [mm]\ker(g_3\circ h_3) = \mathop{\mathrm{Im}}(f_2) \implies \ker(h_3) \subseteq \mathop{\mathrm{Im}}(f_2) [/mm].
>
> >
> im [mm](f_2)=kern(f_3)[/mm] (Exaktheit)
> [mm]\rightarrow(h3) \subseteq kern(f_3)=kern(h_3)[/mm]
Woher kommt diese Identität? Bisher weisst du nur, dass [mm] $\ker(h_3)\subseteq\ker(f_3)$ [/mm] ist.
> Da [mm]h_{4}[/mm]
> injektiv ist, ist [mm]kern(h_4)=0=im(f_3)[/mm]
Wieder: wieso? Die obere und untere Sequenz sind also exakt vorausgesetzt, nicht mehr.
Du musst diese Behauptungen noch nachweisen.
Du hast bisher weder die Injektitvität von [mm] $h_2$ [/mm] noch die Surjektitvität von [mm] $h_1$ [/mm] benutzt.
Tipp: Da [mm] $h_1$ [/mm] surjektiv ist, ist [mm] $Im(h_2) [/mm] = [mm] N_2$ [/mm] und
[mm] \mathop{\mathrm{Im}(h_2\circ f_1) = \mathop{\mathrm{Im}(g_1\circ h_1) = \mathop{\mathrm{Im}(g_1) [/mm]
Probier doch mal folgendes: da [mm] $\ker(h_3)\subseteq\mathop{\mathrm{Im}}(f_2) [/mm] $ ist, genügt es nachzuweisen, dass es kein von 0 verschiedenes [mm] $x\in \mathop{\mathrm{Im}}(f_2)$ [/mm] gibt mit [mm] $h_3(x)=0$.
[/mm]
Nimm also, dass es ein solches x gibt und konstruiere einen Widerspruch. Beachte dabei, dass [mm] $g_2\circ h_2 [/mm] = [mm] h_3\circ f_2$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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