kommutative Schaltfunktionen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Fr 24.11.2006 | | Autor: | phrygian |
| Aufgabe | | Wie viele unterschiedliche Schaltfunktionen mit drei Eingängen sind kommutativ? |
Hallo zusammen!
Ich weiss nicht, ob ich hier richtig bin mit meiner Aufgabe.
So wie ich die Frage verstehe, sind Funktionen f gesucht, so daß f(a,b,c)=f(a,c,b)=f(b,a,c)=...=f(c,b,a) gilt. Stimmt das? Das Konzept der Kommutativität kenne ich nur für Funktionen mit zwei Eingängen.
Unter den Funktionen mit zwei Eingängen gibt es ja 8 unterschiedliche, die kommutativ sind. Das habe ich herausgefunden, indem ich eine Wahrheitstabelle aufgestellt habe und alle (16) möglichen Werteverläufe betrachtet habe; die kommutativen Funktionen sind genau diejenigen, die in der zweiten und dritten Zeile entweder jeweils eine 1 oder eine 0 haben. Für die erste Zeile gibt es somit 2 mögliche Wertebelegungen (0 oder 1), für die zweite und dritte zusammen ebenfalls nur 2, und für die letzte Zeile wieder 2; also [mm] 2^3.
[/mm]
Bei Funktionen mit drei Eingängen habe ich jedoch keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.
Hoffentlich kann mir jemand einen Hinweis geben!
Vielen Dank im voraus!
Gruß, phrygian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Fr 24.11.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo!
Ich denke, daß ich die Lösung habe - vorausgesetzt, ich habe das mit der Kommutativität richtig verstanden.
Wenn alle Eingänge 0 sind, gibt es für eine kommutative Funktion f zwei mögliche Werte: f(0,0,0)= 0 oder f(0,0,0)= 1.
Falls ein Eingang 1 ist, muss gelten: f(1,0,0)=f(0,1,0)=f(0,0,1)= 0 oder 1.
Falls zwei Eingänge 1 sind, muss die Funktion wieder für alle Permutationen von 0,1,1 gleich sein, nämlich 0 oder 1.
Und schliesslich ist f(1,1,1) gleich 0 oder 1.
Insgesamt hat man also [mm] 2^4 [/mm] mögliche Werteverläufe und damit 16 verschiedene kommutative Schaltfunktionen.
Stimmt das?
Gruß, phrygian
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> Wie viele unterschiedliche Schaltfunktionen mit drei
> Eingängen sind kommutativ?
Hallo phrygian,
ich selbst sträube mich immer ein bisschen, die Eigenschaft, die deine Schaltfunktion haben soll, Kommutativität zu nennen.
In deiner eigenen Mitteilung zu deiner Frage benutzt du das Wort Permutationen und immer wenn es um mehr als zwei Eingänge geht, erlaube ich mir, das entsprechend als Permutativität zu bezeichnen.
(Vielleicht bin ich da aber ein Exot.)
Jedenfalls ist bei permutativen Schaltfunktionen der Wert nur noch abhängig von der Zahl der Einsen und nicht mehr von ihrer Reihenfolge an den Eingängen.
Es gibt also — so wie du das in deiner eigenen Mitteilung ausdrückst — soviele permutative Schaltfunktionen, wie es Abbildungen
[mm]\{0,1,2,3\}\longrightarrow\{0,1\}[/mm]
gibt. Das sind, so wie von die vermutet: [mm]2^4[/mm].
Bei Schaltfunktionen mit vier Eingängen müssten es dementsprechend soviele sein, wie es Abbildungen [mm]\{0,1,2,3,4\}\longrightarrow\{0,1\}[/mm] gibt, also: [mm]2^5[/mm] usw.
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Sa 25.11.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo Karthagoras!
Danke für Deine Antwort!
> ich selbst sträube mich immer ein bisschen, die
> Eigenschaft, die deine Schaltfunktion haben soll,
> Kommutativität zu nennen.
>
> In deiner eigenen Mitteilung zu deiner Frage benutzt du das
> Wort Permutationen und immer wenn es um mehr als zwei
> Eingänge geht, erlaube ich mir, das entsprechend als
> Permutativität zu bezeichnen.
> (Vielleicht bin ich da aber ein Exot.)
Habe ich noch nie gehört, wäre aber vielleicht eine sinnvolle Bezeichnung; wobei man auch sagen könnte, daß commutare einfach vertauschen heißt und deshalb kein neuer Begriff nötig ist...
> Jedenfalls ist bei permutativen Schaltfunktionen der Wert
> nur noch abhängig von der Zahl der Einsen und nicht mehr
> von ihrer Reihenfolge an den Eingängen.
>
> Es gibt also — so wie du das in deiner eigenen
> Mitteilung ausdrückst — soviele permutative
> Schaltfunktionen, wie es Abbildungen
>
> [mm]\{0,1,2,3\}\longrightarrow\{0,1\}[/mm]
>
> gibt. Das sind, so wie von die vermutet: [mm]2^4[/mm].
>
> Bei Schaltfunktionen mit vier Eingängen müssten es
> dementsprechend soviele sein, wie es Abbildungen
> [mm]\{0,1,2,3,4\}\longrightarrow\{0,1\}[/mm] > gibt, also: [mm]2^5[/mm] usw.
Interessante Betrachtungsweise! Danke für diesen Hinweis!
Gruß, phrygian
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