kommutativer Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei R ein endlicher kommutativer Ring. Zeigen sie, dass für ein Element r [mm] \in [/mm] R mit [mm] r\not=0 [/mm] gilt: Das Element r ist entweder Einheit oder Nullteiler.
Nutzen sie obige aussage um für den Ring [mm] \IZ/(20\IZ) [/mm] die Nullteiler und die Einheiten anzugeben. Welche Nullteiler sind nilpotent? |
Mahlzeit,
so ich habe mir mal überlegt:
z.z.: r ist ENTWEDER Nullteiler ODER Einheit. (Muss also eins von beiden sein, oder?)
ist r Einheit [mm] \Rightarrow [/mm] es ex. ein [mm] b\inR [/mm] mit rb=1=br (kommutativer Ring)
Annahme: r ist auch Nullteiler
[mm] \Rightarrrow 0\not=k\inR [/mm] mit rk=0
rk=0=rb-rb=r(b-b)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] k=0 und das steht im Widerspruch zu [mm] k\not=0
[/mm]
1. Habe ich das richtig verstanden, was z.z. ist?
2. Habe ich das dann richtig umgesetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Di 05.06.2012 | | Autor: | hippias |
Was Du gezeigt hast, ist: Eine Einheit ist kein Nullteiler. Zweifellos richtig, aber irgendwie auch uninteressant. Zu zeigen war vielmehr folgendes: Ist [mm] $r\in [/mm] R$ beliebig, so ist entweder $r$ in $R$ invertierbar oder es existiert ein [mm] $s\in [/mm] R$ mit $rs= 0$. Ein Tip: Betrachte die Funktion [mm] $\rho:R\to [/mm] R$, [mm] $x\mapsto [/mm] rx$. Was weist Du ueber die Injektivitaet und Surjektivitaet von Abbildungen endlicher Mengen?
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Ich dachte, ich solle zeigen, dass wenn r eine Einheit ist, es kein Nullteiler sein kann. Ich sehe den Unterschied zu dem, was du geschrieben hast nicht wirklich. Kannst du das noch etwas genauer ausdrücken?
[mm] f:A\rightarrow [/mm] B
injektiv: [mm] |A|\le|B|
[/mm]
surjektiv: [mm] |A|\ge|B|
[/mm]
hattest du das gemeint?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 05.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich dachte, ich solle zeigen, dass wenn r eine Einheit ist,
> es kein Nullteiler sein kann.
nein. Die Aussage war: Entweder ist [mm] $r\,$ [/mm] eine Einheit oder [mm] $r\,$ [/mm] ist ein Nullteiler.
Rein logisch kann man das so sehen: Wenn $r [mm] \in R\,,$ [/mm] dann gibt es zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $r\,$ [/mm] ist eine Einheit. Dann ist zu zeigen, dass dann [mm] $r\,$ [/mm] kein Nullteiler sein kann.
Den Fall hast Du ja abgehandelt. Aber es gibt auch einen
2. Fall: [mm] $r\,$ [/mm] ist keine Einheit. Dann ist zu zeigen, dass dann [mm] $r\,$ [/mm] aber Nullteiler sein muss.
Behandelst Du den 2en Fall nicht, hast Du was vergessen. Es könnte ja auch sein, dass [mm] $r\,$ [/mm] weder Einheit noch Nullteiler wäre.
Mach's doch einfach so: Schreibe Dir mal in einem Paar [mm] $(.,.)\,$ [/mm] auf, welche Fälle es für $r [mm] \in [/mm] R$ geben könnte. Steht in der ersten Komponente eine [mm] $0\,$ [/mm] bzw. [mm] $1\,,$ [/mm] so soll das bedeuten "Einheit [mm] $\to$ [/mm] falsch" bzw. "Einheit [mm] $\to$ [/mm] wahr", analoges in der zweiten Komponente bzgl. "Nullteiler".
Dann gibt es vier Fälle:
[mm] $$(0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1)\,.$$
[/mm]
Du hast zu zeigen, dass die Fälle [mm] $(0,0)$\, [/mm] und [mm] $(1,1)\,$ [/mm] nicht gehen. Du könntest es auch so machen:
Du zeigst: Jedes Element $r [mm] \in [/mm] R$ ist Einheit oder Nullteiler.
(Den Beginn des Beweises der letzten Aussage kann man etwa so machen: Wenn $r [mm] \in [/mm] R$ Einheit ist, so ist nichts zu zeigen. Sei also $r [mm] \in [/mm] R$ keine Einheit. Wir zeigen, dass dann [mm] $r\,$ [/mm] aber Nullteiler ist:...)
Und dann zeigst Du: Aber beides zusammen geht nicht!
Gruß,
Marcel
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moin,
Marcel hat ja schon ganz gut gesagt, was genau du zeigen sollst.
Damit du dir auch selbst klar machen kannst, worum es geht, betrachte mal als Beispiel den Ring [mm] $\IZ$.
[/mm]
Es ist etwa $2 [mm] \in \IZ$ [/mm] keine Einheit, aber auch kein Nullteiler (da [mm] $\IZ$ [/mm] ein Integritätsbereich ist).
Somit gibt es in [mm] $\IZ$ [/mm] Elemente, die weder Einheiten noch Nullteiler sind.
Das ist aber kein Widerspruch zu deiner Aussage, denn [mm] $\IZ$ [/mm] ist ja nicht endlich.
Du sollst nun zeigen, dass so etwas im endlichen Fall nicht auftreten kann, dass also in einem endlichen Ring alles entweder Nullteiler oder Einheit ist.
Ich hoffe dir ist nun ein wenig klarer, worum es geht.
Wie du an die Aufgabe ran gehen kannst wurde ja schon von Marcel und hippias ausgeführt.
lg
Schadowmaster
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Also, ich war oben auch noch nicht fertig, ich wollte mich erst um den Fall kümmern: r ist Einheit [mm] \Rightarrow [/mm] r ist nicht Nullteiler. Wenn ich euch richtig verstanden habe, dann ist mir das doch auch schon gelungen, oder?
Dann muss ich mich jetzt um den Fall kümmern: r ist Nullteiler [mm] \Rightarrow [/mm] r ist nicht Einheit.
Wenn mir das gelingt, dann habe ich doch auch schon gezeigt, dass beides nicht sein kann (mit Marcel's Worten (1,1) kann nicht sein), oder?
Von daher müsste ich dann noch zeigen, dass es aber min. eines von beiden sein muss, der Fall (0,0) also auch nicht sein kann, oder?
Die Ringe sind komplett neu für mich und ich erarbeite mir das selbst, von daher brauche ich manchaml etwas länger. Also lasst euch bitte nicht davon abschrecken, wenn ich hin und wieder "komische" Fragen stelle, oder auch doppelt frage...jede Antwort und Hilfe bringt mich ein Stück weiter und verbessert das Bild des Ganzen in meinem Kopf. Vielen Dank!
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> Also, ich war oben auch noch nicht fertig, ich wollte mich
> erst um den Fall kümmern: r ist Einheit [mm]\Rightarrow[/mm] r ist
> nicht Nullteiler. Wenn ich euch richtig verstanden habe,
> dann ist mir das doch auch schon gelungen, oder?
Hmm, dann gehen wir deinen Beweis aus dem ersten Post nochmal durch:
> ist r Einheit $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ es ex. ein $ [mm] b\inR [/mm] $ mit rb=1=br (kommutativer Ring)
> Annahme: r ist auch Nullteiler
> $ [mm] \Rightarrrow 0\not=k\inR [/mm] $ mit rk=0
> rk=0=rb-rb=r(b-b)=0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ k=0 und das steht im Widerspruch zu $ [mm] k\not=0 [/mm] $
Wieso kannst du hier folgern, dass $k=0$ gelten muss?
Beziehungsweise wie genau folgerst du das?
Damit das ganz richtig wird müsstest du nochmal eine kleine Erklärung dazu schreiben.
Alternativ könntest du dir auch die Gleichung
$rk = 0$ nehmen und dann beide Seiten mit $b$ multiplizieren.
> Dann muss ich mich jetzt um den Fall kümmern: r ist
> Nullteiler [mm]\Rightarrow[/mm] r ist nicht Einheit.
> Wenn mir das gelingt, dann habe ich doch auch schon
> gezeigt, dass beides nicht sein kann (mit Marcel's Worten
> (1,1) kann nicht sein), oder?
jup
> Von daher müsste ich dann noch zeigen, dass es aber min.
> eines von beiden sein muss, der Fall (0,0) also auch nicht
> sein kann, oder?
Genau.
Nimm dafür am besten die von hippias erwähnte Abbildung.
Überlege dir, wieso diese Abbildung genau dann injektiv ist, wenn einzig [mm] $\rho(0)=0$ [/mm] gilt, wenn also [mm] $\rho(s) \neq [/mm] 0$ für alle $s [mm] \neq [/mm] 0$.
> Die Ringe sind komplett neu für mich und ich erarbeite mir
> das selbst, von daher brauche ich manchaml etwas länger.
> Also lasst euch bitte nicht davon abschrecken, wenn ich hin
> und wieder "komische" Fragen stelle, oder auch doppelt
> frage...jede Antwort und Hilfe bringt mich ein Stück
> weiter und verbessert das Bild des Ganzen in meinem Kopf.
> Vielen Dank!
Das ist kein Problem. ;)
lg
Schadowmaster
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So ich habe die Abbildung [mm] \rho:R\rightarrow [/mm] R, x [mm] \rightarrow [/mm] rx betrachtet.
1. Ich habe festgestellt, die Abb. ist linear.
[mm] \rho(0)=\rho(0*0)=0*\rho(0)=0
[/mm]
> Nimm dafür am besten die von hippias erwähnte
> Abbildung.
> Überlege dir, wieso diese Abbildung genau dann injektiv
> ist, wenn einzig [mm]\rho(0)=0[/mm] gilt, wenn also [mm]\rho(s) \neq 0[/mm]
> für alle [mm]s \neq 0[/mm].
also soll ich folgendes zeigen: [mm] \rho [/mm] injektiv [mm] \gdw ker(\rho)={0}, [/mm] oder?
[mm] "\Rightarrow [/mm] ": [mm] \rho [/mm] injektiv
Annahme: es ex. ein z [mm] \in ker(\rho) [/mm] mit [mm] z\not=0
[/mm]
also [mm] \rho(z)=0, [/mm] das steht im Widerspruch zu [mm] \rho [/mm] injektiv [mm] z\not=0 \Rightarrow \rho(z)\not=\rho(0)
[/mm]
[mm] "\Leftarrow [/mm] ": [mm] ker(\rho)={0}
[/mm]
Annahme: [mm] \rho(x)=\rho(y), [/mm] für [mm] x,y\in [/mm] R
[mm] \rightarrow \rho(x)-\rho(y)=0=\rho(x-y) \Rightarrow [/mm] x-y=0 [mm] \gdw [/mm] x=y, also [mm] \rho [/mm] injektiv
So weit so gut, doch leider sehe ich noch gar nicht, warum mich das hier zum Ziel führen soll...wenn das so weit überhaupt richtig ist.
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> So ich habe die Abbildung [mm]\rho:R\rightarrow[/mm] R, x
> [mm]\rightarrow[/mm] rx betrachtet.
>
> 1. Ich habe festgestellt, die Abb. ist linear.
>
> [mm]\rho(0)=\rho(0*0)=0*\rho(0)=0[/mm]
Hier musst du aufpassen.
Linearität einer Abbildung ist anders definiert, guck dir nochmal ganz genau die Bedingung dafür an.
Insbesondere ist [mm] $\rho(0)=0$ [/mm] eine Folgerung aus der Linearität, nicht eine Bedingung dafür.
>
> > Nimm dafür am besten die von hippias erwähnte
> > Abbildung.
> > Überlege dir, wieso diese Abbildung genau dann
> injektiv
> > ist, wenn einzig [mm]\rho(0)=0[/mm] gilt, wenn also [mm]\rho(s) \neq 0[/mm]
> > für alle [mm]s \neq 0[/mm].
>
> also soll ich folgendes zeigen: [mm]\rho[/mm] injektiv [mm]\gdw ker(\rho)={0},[/mm]
> oder?
>
> [mm]"\Rightarrow[/mm] ": [mm]\rho[/mm] injektiv
>
> Annahme: es ex. ein z [mm]\in ker(\rho)[/mm] mit [mm]z\not=0[/mm]
> also [mm]\rho(z)=0,[/mm] das steht im Widerspruch zu [mm]\rho[/mm] injektiv
> [mm]z\not=0 \Rightarrow \rho(z)\not=\rho(0)[/mm]
>
> [mm]"\Leftarrow[/mm] ": [mm]ker(\rho)={0}[/mm]
>
> Annahme: [mm]\rho(x)=\rho(y),[/mm] für [mm]x,y\in[/mm] R
> [mm]\rightarrow \rho(x)-\rho(y)=0=\rho(x-y) \Rightarrow[/mm] x-y=0
> [mm]\gdw[/mm] x=y, also [mm]\rho[/mm] injektiv
Der Beweis ist, unter der Annahme, das [mm] $\rho$ [/mm] linear sein soll, gut.
Wenn du schon dabei bist kannst du ihn allgemeiner formulieren und hast dann den Satz "eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern nur die Null enthält". Diesen Satz sollte man eh irgendwann mal beweisen und er ist oft sehr nützlich.
Allerdings stimmt dein Beweis für Linearität noch nicht ganz wie gesagt.
Du kannst alternativ die Richtung "Kern $= [mm] \{ 0 \} \Rightarrow$ [/mm] injektiv" für diesen speziellen Fall auch ohne Linearität zeigen.
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> So weit so gut, doch leider sehe ich noch gar nicht, warum
> mich das hier zum Ziel führen soll...wenn das so weit
> überhaupt richtig ist.
Dafür solltest du die spezielle Form von [mm] $\rho$ [/mm] betrachten.
Enthält der Kern von [mm] $\rho$ [/mm] nur die 0 so heißt das ja, dass $r$ kein Nullteiler ist, dass es also kein $0 [mm] \neq [/mm] x [mm] \in [/mm] R$ gibt, das $rx=0$ erfüllt.
Nun musst du zeigen, dass $r$ in diesem Fall eine Einheit ist, dass es also ein $x [mm] \in [/mm] R$ gibt mit $rx = 1$.
Das kannst du mithilfe der Injektivität machen.
Die Abbildung [mm] $\rho$ [/mm] ist ja eine Abbildung aus der endlichen Menge $R$ in sich selbst.
Ist [mm] $\rho$ [/mm] nun injektiv, welche Eigenschaft kannst du dann sofort daraus folgern? Am besten natürlich eine Eigenschaft die dir garantiert, dass ein $x$ existiert mit [mm] $\rho(x) [/mm] = 1$.
lg
Schadowmaster
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mein Aufschrieb war mal wieder etwas schwammig, das muss ich unbedingt verbessern...
zu 1.) Linearität: f(x)+f(y)=f(x+y) und k*f(x)=f(kx)
das konnte ich direkt, und war zu faul es extra zu notieren (Schande über mein Haupt), und danach habe ich dann die Folgerung notiert....
> Dafür solltest du die spezielle Form von [mm]\rho[/mm] betrachten.
> Enthält der Kern von [mm]\rho[/mm] nur die 0 so heißt das ja,
> dass [mm]r[/mm] kein Nullteiler ist, dass es also kein [mm]0 \neq x \in R[/mm]
> gibt, das [mm]rx=0[/mm] erfüllt.
> Nun musst du zeigen, dass [mm]r[/mm] in diesem Fall eine Einheit
> ist, dass es also ein [mm]x \in R[/mm] gibt mit [mm]rx = 1[/mm].
> Das kannst
> du mithilfe der Injektivität machen.
> Die Abbildung [mm]\rho[/mm] ist ja eine Abbildung aus der endlichen
> Menge [mm]R[/mm] in sich selbst.
> Ist [mm]\rho[/mm] nun injektiv, welche Eigenschaft kannst du dann
> sofort daraus folgern? Am besten natürlich eine
> Eigenschaft die dir garantiert, dass ein [mm]x[/mm] existiert mit
> [mm]\rho(x) = 1[/mm].
>
> lg
>
> Schadowmaster
Ah, das mit dem Nullteiler hatte ich mir schon gedacht, schön. :)
Ich habe mir überlegt, [mm] \rho [/mm] ist linkstotal und bildet R auf R ab. Mit Injektivität bedeutet das doch dann, dass [mm] \rho [/mm] auch rechtstotal sein müsste, oder?
Wenn das so sein sollte, und das ganze ja ein kommutativer Ring mit "1" ist, ex in R auch das Inverse zu jedem Element. Also lässt sich zu jedem r [mm] \in [/mm] r auch ein x [mm] \in [/mm] R finden, so dass rx=1, oder?
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> Ich habe mir überlegt, [mm]\rho[/mm] ist linkstotal und bildet R
> auf R ab. Mit Injektivität bedeutet das doch dann, dass
> [mm]\rho[/mm] auch rechtstotal sein müsste, oder?
Das stimmt, aber die Begriffe sind nicht so glücklich gewählt.
Linkstotal und rechtstotal sind Begriffe, die man eher bei Relationen findet (und Abbildungen sind ja ganz spezielle Relationen).
Für Abbildungen oder Funktionen spricht man statt "rechtstotal" eher von "surjektiv". Deine Aussage ist vollkommen richtig, aber wie gesagt ist surjektiv in diesem Zusammenhang der gebräuchliche Begriff.
Und du brauchst die Aussage, dass $R$ endlich ist, unbedingt.
Als Beispiel ist etwa $f: [mm] \IZ \to \IZ, \, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 2x$ injektiv, aber nicht surjektiv.
> Wenn das so sein sollte, und das ganze ja ein kommutativer
> Ring mit "1" ist, ex in R auch das Inverse zu jedem
> Element.
Moment!
Dein $R$ ist ein kommutativer Ring mit 1, ja, das heißt aber noch lange nicht, dass jedes Element invertierbar ist.
Es sind die Elemente invertierbar, für die das dazugehörige [mm] $\rho$ [/mm] injektiv und damit auch surjektiv (wie du richtig argumentiert hast) ist.
Das muss aber lange nicht für alle Elemente des Rings gelten; so ist zum Beispiel die 0 nie multiplikativ invertierbar (mit Ausnahme des Nullrings, aber der ist eh recht sonderbar^^).
> Also lässt sich zu jedem r [mm]\in[/mm] r auch ein x [mm]\in[/mm] R
> finden, so dass rx=1, oder?
Für die $r$, für die [mm] $\rho$ [/mm] injektiv ist, ja.
Wenn du willst kannst du (solange alle Fragen geklärt sind) gern auch nochmal einen gesamten Beweis posten, dann kriegst du ein paar Tipps was Form und mathematische Formulierungen angeht.
lg
Schadow
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Sind die invertierbaren Elemente dann r [mm] \in R\backslash [/mm] {0}?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 07.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> Sind die invertierbaren Elemente dann r [mm]\in R\backslash[/mm]
> {0}?
Nein.
SEcki
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hi,
so noch einmal nachgedacht:
natürlich nein, denn betrachte ich: die Einheitengrp. von [mm] \IZ/8\IZ, [/mm] dann ist "4" ja nicht invertierbar, obwohl 4 [mm] \in [/mm] R\ {0}.
Habe ich das richtig verstanden?
So ich habe das jetzt noch einmal ordentlich aufgeschrieben:
1. Fall: [mm] \rho [/mm] injektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] Da R endlich ist und [mm] \rho [/mm] injektiv, muss [mm] \rho [/mm] auch surjektiv sein
[mm] \Rightarrow [/mm] es ex. ein x [mm] \in [/mm] R mit [mm] \rho(x)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] rx=1 [mm] \Rightarrow [/mm] r ist Einheit
2. Fall: [mm] \rho [/mm] nicht injektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt [mm] x\not= [/mm] y mit [mm] \rho(x)=\rho(y)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] rx=ry [mm] \gdw [/mm] r(x-y)=0, mit [mm] r\not=0 [/mm] und [mm] x\not=y \Rightarrow x-y\not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] r ist Nullteiler
Und dann mal die Nullteiler und Einheiten gesucht:
Nullteiler= { 0 (?), 2, 10, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 16, 18 }
Einheiten= { 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 }
Richtig so?
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> hi,
>
> so noch einmal nachgedacht:
>
> natürlich nein, denn betrachte ich: die Einheitengrp. von
> [mm]\IZ/8\IZ,[/mm] dann ist "4" ja nicht invertierbar, obwohl 4 [mm]\in[/mm]
> R\ {0}.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
jo.
> So ich habe das jetzt noch einmal ordentlich
> aufgeschrieben:
>
> 1. Fall: [mm]\rho[/mm] injektiv
> [mm]\Rightarrow[/mm] Da R endlich ist und [mm]\rho[/mm] injektiv, muss [mm]\rho[/mm]
> auch surjektiv sein
> [mm]\Rightarrow[/mm] es ex. ein x [mm]\in[/mm] R mit [mm]\rho(x)=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] rx=1 [mm]\Rightarrow[/mm] r ist Einheit
>
> 2. Fall: [mm]\rho[/mm] nicht injektiv
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]x\not=[/mm] y mit [mm]\rho(x)=\rho(y)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] rx=ry [mm]\gdw[/mm] r(x-y)=0, mit [mm]r\not=0[/mm] und [mm]x\not=y \Rightarrow x-y\not=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] r ist Nullteiler
Das sieht sehr gut aus; kurz, knapp, sauber. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dann mal die Nullteiler und Einheiten gesucht:
>
> Nullteiler= { 0 (?), 2, 10, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 16, 18
> }
>
> Einheiten= { 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 }
>
> Richtig so?
>
Jo, das stimmt.
Und 0 ist ein Nullteiler, ja, zumindest so lange du nicht den Nullring betrachtest.
Denn nach Definition muss es, damit $r [mm] \in [/mm] R$ ein Nullteiler ist, ja ein $0 [mm] \neq [/mm] x [mm] \in [/mm] R$ geben mit $r*x = 0$; und solange du nicht im Nullring bist gibt es dafür passende Elemente zur 0.
Jetzt fehlt nur noch die Frage, welche der Elemente nilpotent sind.
lg
Schadow
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Super, vielen Dank für die Hilfe!!
So noch mal die nilpotenten Nullteiler versucht zu finden: { 0 (?) , 10 }
[mm] a^n [/mm] =0, dann ist a nilpotent. Ist n dabei n [mm] \in \IN, [/mm] also es ist egal wie oft man ein Element mit sich selbst verknüpft?
Ich habe das jetzt durch rechnen versucht, gibt es denn vorher schon Hinweise darauf, welche es denn sein könnten? Denn das könnte ja sonst schon sehr Umfangreich werden, oder gibt es generelll einen besseren Weg die nilpotenten Nullteiler zu finden?
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> Super, vielen Dank für die Hilfe!!
>
> So noch mal die nilpotenten Nullteiler versucht zu finden:
> { 0 (?) , 10 }
> [mm]a^n[/mm] =0, dann ist a nilpotent. Ist n dabei n [mm]\in \IN,[/mm] also
> es ist egal wie oft man ein Element mit sich selbst
> verknüpft?
An sich schon, aber ein endliches $n$ reicht vollkommen um die Frage nach nilpotent oder nicht zu klären.
> Ich habe das jetzt durch rechnen versucht, gibt es denn
> vorher schon Hinweise darauf, welche es denn sein könnten?
> Denn das könnte ja sonst schon sehr Umfangreich werden,
> oder gibt es generelll einen besseren Weg die nilpotenten
> Nullteiler zu finden?
Ja, es gibt auch da einen Trick.
Überleg dir das ganze mal kurz wieder in [mm] $\IZ$.
[/mm]
Der Ring [mm] $\IZ/20\IZ$ [/mm] entsteht ja, indem du für jede ganze Zahl den Rest nach Division durch $20$ betrachtest.
Nun können wir deine Frage umformulieren:
Sei $a [mm] \in \IN$ [/mm] und $0<a<20$ (denn die 0 ist ja immer nilpotent und es reicht die anderen 19 Elemente zu betrachten).
Welche Form muss $a$ haben, damit es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, sodass [mm] $a^n$ [/mm] durch 20 teilbar ist?
Hinweis: Schau dir mal die Primfaktorzerlegung von 20 und die von $a$ genau an.
lg
Schadowmaster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 So 10.06.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke für die tolle Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 05.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> Also, ich war oben auch noch nicht fertig, ich wollte mich
> erst um den Fall kümmern: r ist Einheit [mm]\Rightarrow[/mm] r ist
> nicht Nullteiler. Wenn ich euch richtig verstanden habe,
> dann ist mir das doch auch schon gelungen, oder?
Dieser "Fall" muss nicht zur Lösung beitragen ...
> Dann muss ich mich jetzt um den Fall kümmern: r ist
> Nullteiler [mm]\Rightarrow[/mm] r ist nicht Einheit.
Musst du nicht. Wenn du mgast, gerne - aber löst die Aufgabe nicht. (warum wurde schon zweimal erörtert).
> Von daher müsste ich dann noch zeigen, dass es aber min.
> eines von beiden sein muss, der Fall (0,0) also auch nicht
> sein kann, oder?
Das ist die eigentliche Aufgabe.
SEcki
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