kommutativer Ring mit 1 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mi 26.01.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R' ein Oberring von R. Wir nennen ein Element [mm] $x\in [/mm] R'$ Unbestimmte über R, falls
1) $rx= xr [mm] \forall r\in [/mm] R$ und $1x=x1=x$
2) [mm] a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n=0 \Leftrightarrow a_i=0, 0\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ mit [mm] $a_i\in [/mm] R.$
Man zeige, dass [mm] $\mathcal{F} [/mm] = [mm] \{f:\mathbb{N} \to R | f(n) \neq 0 \textnormal{ für höchstens abzählbar viele n} \}$ [/mm] für jeden Ring R einen zu R isomorphen Teilring enthält, den wir mit R identifizieren können. Welches Element in [mm] $\mathcal [/mm] {F}$ muss man als x wählen, sodass R'=F die obigen Bedingungen erfüllt? |
Was heißt "... den wir mit R identifizieren können...?"
Bedeutet dies, dass man mit R den Teilring erkennen bzw. ausfindig machen kann? Wie ist das zu verstehen?
Außerdem, wie beweist man die Isomorphie für alle Ringe R auf einmal??? Gibt es da irgend einen zu empfehlenden Trick? Habt ihr da einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Do 27.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R' ein Oberring von
> R. Wir nennen ein Element [mm]x\in R'[/mm] Unbestimmte über R,
> falls
> 1) [mm]rx= xr \forall r\in R[/mm] und [mm]1x=x1=x[/mm]
> 2) [mm]a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n=0 \Leftrightarrow a_i=0, 0\le[/mm] i
> [mm]\le[/mm] n$ mit [mm]$a_i\in[/mm] R.$
> Man zeige, dass [mm]\mathcal{F} = \{f:\mathbb{N} \to R | f(n) \neq 0 \textnormal{ für höchstens abzählbar viele n} \}[/mm]
> für jeden Ring R einen zu R isomorphen Teilring enthält,
> den wir mit R identifizieren können. Welches Element in
> [mm]\mathcal {F}[/mm] muss man als x wählen, sodass R'=F die obigen
> Bedingungen erfüllt?
Heißt es wirklich "für höchstens abzählbar viele n" und nicht "für höchstens endlich viele n"?
Wenn es so stimmt, wie es da steht, ist [mm]\mathcal{F} = \{f:\mathbb{N} \to R \}[/mm], da [mm] $\IN$ [/mm] abzählbar ist.
> Was heißt "... den wir mit R identifizieren können...?"
> Bedeutet dies, dass man mit R den Teilring erkennen bzw.
> ausfindig machen kann? Wie ist das zu verstehen?
Ja, es heißt, es gibt einen Teilring [mm]\mathcal{F}'[/mm] von [mm]\mathcal{F}[/mm] und einen Ringisomorphismus [mm]g:\mathcal{F}' \to R [/mm]. Die Urbilder von R werden mit R "gleichgesetzt".
>
> Außerdem, wie beweist man die Isomorphie für alle Ringe R
> auf einmal??? Gibt es da irgend einen zu empfehlenden
> Trick? Habt ihr da einen Tipp für mich?
>
Du kannst für R nur von einem kommutativen Ring mit 1 ausgehen, (und dessen Eigenschaften), mit einem Oberring R' mit den angegebenen Bedingungen 1) und 2) und den Eigenschaften von [mm]\mathcal{F}[/mm]. (Bei [mm]\mathcal{F}[/mm] solltest Du vielleicht zuerst zeigen, dass es ein Ring ist.)
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 27.01.2011 | | Autor: | clemenum |
Moin Meli!
Erstmal, danke für deine Reaktion.
Ja, natürlich, man meint "für höchstens endlich viele n".
Wie wäre es, die Menge [mm] $M_r:=\{f_r: \mathbb{N} \to R| f(1)= r\in R, f(n) = 0 \textnormal {sonst} \} [/mm] $ zu betrachten?
Wie ich das x wählen muss, weiß ich jedoch nicht :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Fr 28.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Moin Meli!
>
> Erstmal, danke für deine Reaktion.
>
> Ja, natürlich, man meint "für höchstens endlich viele
> n".
>
> Wie wäre es, die Menge [mm]M_r:=\{f_r: \mathbb{N} \to R| f(1)= r\in R, f(n) = 0 \textnormal {sonst} \} [/mm]
> zu betrachten?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, mit [mm] $M_r$ [/mm] geht es.
>
> Wie ich das x wählen muss, weiß ich jedoch nicht :/
Welches $f [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] man für x wählt, weis ich auch nicht.
Dieses $f$ muss,
$f [mm] \notin M_r$ [/mm] und
1) $fh = hf$ [mm] $\forall [/mm] h [mm] \in M_r$ [/mm] und [mm] $ff_1 [/mm] = f_1f = f$ und
2) [mm] $f_{a_0} [/mm] + [mm] f_{a_1}f [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f_{a_n}f^n [/mm] = [mm] f_0 \gdw f_{a_i} [/mm] = [mm] f_0$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ mit [mm] $f_{a_i} \in M_r, a_i \in [/mm] R$ und $n [mm] \in \IN$
[/mm]
erfüllen.
Gruß
meili
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