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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mo 28.04.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Bestimme (mit Begründung) für folgende Gruppen G jeweeils ihre Kommutatorgruppe [G,G] und entscheide, ob G/[G,G] zyklisch ist:
[mm] C_2 \times C_2 \times C_2, S_3 [/mm] , [mm] Q_8, [/mm] GL(2, [mm] \IZ /2\IZ) [/mm] |
hallo zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir bei der aufgabe helfen.
zu i) die Menge von [mm] C_2 \times C_2 \times C_2= [/mm] {(1,1,1), (1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1),(-1,1,1),(-1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,-1)}
kommutatorgr. ist dann <>
definition zu kommuator: g,h [mm] \in [/mm] G
[mm] [g,h]:=ghg^{-1}h^{-1} \in [/mm] G
Kommutatorgr.:<[g,h], g,h [mm] \in [/mm] G>=[G,G]
aber wie bestimme ich die kommutatoren?
ich habe jetzt dann alle untergr. gebildet von
[mm] C_2 \times C_2 \times C_2
[/mm]
[mm] U_1= [/mm] {(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,1),(1,-1,1)}
[mm] U_2={(1,1,1),(-1,1,-1),(-1,1,1),(1,1,-1)}
[/mm]
[mm] U_3={(1,1,1),(1,-1,-1),(1,-1,1),(1,1,-1)}
[/mm]
[mm] U_4={(1,1,1),(-1,1,1)}
[/mm]
[mm] U_5={(1,1,1),(1,-1,1)}
[/mm]
[mm] U_6={(1,1,1),(1,1,-1)}
[/mm]
[mm] U_7={(1,1,1),(-1,-1,-1)}
[/mm]
kann ich damit was anfangen?
zu [mm] S_3: [/mm] kommutatorgr. ist [mm] A_3 [/mm] denn sei g=(132) und h=(123) (zykelschreibweise) dann [mm] ghg^{-1}h^{-1}=(132)\circ [/mm] (123) [mm] \circ [/mm] (123) [mm] \circ [/mm] (132)=e
[mm] \Rightarrow [/mm] gh=hg
d.h G abelsch ( aber kann eiglt. für [mm] S_3 [/mm] nicht gelten, da [mm] S_3 [/mm] nicht abelsch ist)
ist es überhaupt richtig was ich überlegt habe?
wie zeige ich ob G/[G,G] zyklisch ist?
ich weiß leider nicht weiter wie ich so an die aufgabe herangehen soll, daher bin ich für jeden tipp dankbar.
gruß, knowhow
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Zu i) überlege dir, dass die Kommutatorgruppe einer Gruppe genau dann trivial ist, wenn diese kommutativ ist.
Zu ii): Es gibt drei Arten von Permutationen in $ [mm] S_3$, [/mm] Identität, Transpositionen und 3-Zykel. Du musst testen, welche davon du als Kommentator darstellen kannst. Alternativ kann man die Abelisuerung der symmetrischen Gruppe via universeller Eigenschaft bestimmen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 28.04.2014 | | Autor: | knowhow |
danke für deine antwort.
d.h. so wie ich zu ii) verstanden habe, kann ich nur die id oder transposition oder 3zykel als kommutator wählen ( natürlich muss ich schauen welches davon eins ist)d.h. ich könnte nicht ein el. das eine transposition darstellt und eine element, dasvein 3-zykel darstellt wählen, oder?
so wie ich kommutator verstanden haben, sind es zwei elemente g,h aus der gruppe für die gilt [mm] ghg^{-1}h^{-1} \in [/mm] G, aber ist es nicht so, dass ich wenn ich elemente wähle und sie dann so verknüpfe mit ihren inverse, dass diese in G liegen? kannst du mir evtl. ein beispiel geben, dass es für mich klarer wird. danke
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Ein Element a heißt Kommutator, wenn es g, h gibt mit $ [mm] a=ghg^{-1} h^{-1} [/mm] $. Eine Gruppe ist kommutativ, wenn die Kommutatorgruppe trivial ist. Außerdem ist die Kommutatorgruppe im Kern jedes Homomorphismus in eine kommutative Gruppe enthalten. Daraus solltest du $ K [mm] (S_n)=A_n [/mm] $ *zumindest für [mm] $n\not=4$ [/mm] unmittelbar folgern können.
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