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| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und seien A, B [mm] \in \IK^{n,n} [/mm] mit AB = BA. Man nehme an, A besitze n verschiedene
Eigenwerte.
prüfen sie, ob B diagonalisierbar ist. |
Hallo,
ich hoffe mir kann einer bei dieser aufgabe helfen, ich habe keine Ahnung wie man die aussage zeigen könnte...
ich habe mir zuerst überlegt, wenn A n verschieden eigenwerte besitzt, ist A automatisch auch diagonlisierbar. und jetzt wollte ich irgendwie die Kommutativität der matrizen nutzen, aber nichts führt zum ziel.
ich hoffe mir kann jemand einen hinweis geben.
MFG
N.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo nathenatiker!
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und seien A, B [mm]\in \IK^{n,n}[/mm] mit AB =
> BA. Man nehme an, A besitze n verschiedene
> Eigenwerte.
> prüfen sie, ob B diagonalisierbar ist.
> Hallo,
>
> ich hoffe mir kann einer bei dieser aufgabe helfen, ich
> habe keine Ahnung wie man die aussage zeigen könnte...
> ich habe mir zuerst überlegt, wenn A n verschieden
> eigenwerte besitzt, ist A automatisch auch diagonlisierbar.
Genau. Und insbesondere sind die Eigenraeume von $A$ eindimensional.
> und jetzt wollte ich irgendwie die Kommutativität der
> matrizen nutzen, aber nichts führt zum ziel.
Zeige folgendes: ist [mm] $\lambda \in \IK$, [/mm] so definiert $v [mm] \mapsto [/mm] B v$ einen Endomorphismus von [mm] $\mathrm{Eig}(A, \lambda)$. [/mm] (Dazu musst du zeigen, dass dies wohldefiniert ist.)
Wenn also [mm] $\mathrm{Eig}(A, \lambda)$ [/mm] von $v [mm] \in \IK^n$ [/mm] erzeugt wird, worauf wird $v$ dann durch $B$ abgebildet?
Kannst du damit eine Basis des [mm] $\IK^n$ [/mm] bestehend aus Eigenvektoren von $B$ konstruieren?
LG Felix
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Hallo,
danke erstmal für deine Antwort, ich bin mir aber nicht sicher ob ich sie richtig verstanden habe, ich habe jetzt erst mal folgendes aufgeschrieben:
Also, sei v ein eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Dann gilt ja : A*Bv = B*Av = [mm] B*\lambda [/mm] *v = [mm] \lambda*Bv,
[/mm]
dass heißt erstmal, dass Bv ein eigenvekor von A ist.
wie du schon sagtest, ist jeder Eigenraum eindimensional, dass heißt Bv und v sollten doch skalare Vielfache voneinander sein, oder? Dann würde gelten: Bv = [mm] \lambda'*v
[/mm]
Somit ist v ein eigenvektor von B zum eigenwert [mm] \lambda'. [/mm] Jeder Eigenvektor von A ist ein Eigenvektor von B und umgekehrt...
folgt daraus jetzt nicht die Diagonalisierbarkeit von B.
Ich weiß nicht genau ob du darauf hinaus wolltest. aber müsste mein gedankengang nicht auch richtig sein?
und wenn nicht, könntest du mir deinen noch mal erklären?
MFG
N.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke erstmal für deine Antwort, ich bin mir aber nicht
> sicher ob ich sie richtig verstanden habe, ich habe jetzt
> erst mal folgendes aufgeschrieben:
>
> Also, sei v ein eigenvektor von A zum Eigenwert [mm]\lambda.[/mm]
> Dann gilt ja : A*Bv = B*Av = [mm]B*\lambda[/mm] *v = [mm]\lambda*Bv,[/mm]
> dass heißt erstmal, dass Bv ein eigenvekor von A ist.
> wie du schon sagtest, ist jeder Eigenraum eindimensional,
> dass heißt Bv und v sollten doch skalare Vielfache
> voneinander sein, oder?
Genau.
> Dann würde gelten: Bv = [mm]\lambda'*v[/mm]
> Somit ist v ein eigenvektor von B zum eigenwert [mm]\lambda'.[/mm]
> Jeder Eigenvektor von A ist ein Eigenvektor von B und
> umgekehrt...
Genau.
> folgt daraus jetzt nicht die Diagonalisierbarkeit von B.
Ja: Da $A$ diagonalisierbar ist gibt es eine Basis von $V$ bestehend aus Eigenvektoren von $A$. Da dies auch Eigenvektoren von $B$ sind, hast du folglich eine Basis von $V$ bestehend aus Eigenvektoren von $B$; damit ist $B$ diagonalisierbar.
LG Felix
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