kompakt und regular < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 20.06.2005 | | Autor: | sara_20 |
Hallo Leute,
ich bin nicht so gut in Fachbegriffen aus Mathematik, ich hoffe aber trotzdem dass ihr mich verstehen werdet.
Es ist folgendes zu beweisen:
Sei A kompakt und A [mm] \subseteq [/mm] X und X ist regularer Raum. Dann gilt folgendes:
Fuer jedes Z [mm] \subseteq X\A [/mm] (wo Z geschlossen ist d.h. Z= [mm] \overline{Z})
[/mm]
[mm] \exists [/mm] O,V (offene Mengen) so dass A [mm] \subseteq [/mm] O [mm] \wedge [/mm] Z [mm] \subseteq [/mm] V [mm] \wedge O\cap [/mm] V= [mm] \emptyset.
[/mm]
Ich frage mich nun ob mein Beweis korrekt ist, denn ich konnte nirgendwo finden dass es so jemand bewiesen hat.
Da X regular ist, [mm] (\forall x)(\forall Z)(\exsists O(x),O(Z))x\in [/mm] O(x) [mm] \wedge [/mm] Z [mm] \subseteqO(Z) \wedge O(x)\cap [/mm] O(Z)= [mm] \emptyset.
[/mm]
Jeder kompakter Unterraum von Hausdorfraum ist geschlossen, also speziell A ist geschlossen. Da X regular ist, [mm] \exists [/mm] O(A): A [mm] \subseteqO(A)
[/mm]
[mm] \wedge x\in [/mm] O(x) [mm] \wedge O(x)\capO(A)= \emptyset.
[/mm]
Sei [mm] O(Z)\capO(A) \not= \emptyset. [/mm] Dann:
[mm] \exists y\in O(Z)\cao [/mm] O(A).Dann ist [mm] O(y)\capO(Z) \not= \emptyset, [/mm] also ist X nicht regular. Kontradiktion. Es muss also gelten [mm] O(Z)\cap [/mm] O(A)= [mm] \emptyset
[/mm]
Ist mein Beweis korrekt?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
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Hallo!
Du musst am Anfang schon voraussetzen, dass [mm] $A\cap Z=\emptyset$ [/mm] ist, oder?
Leider ist dein Widerspruch kein Widerspruch. $X$ heißt regulär, wenn für alle [mm] $Z\subseteq [/mm] X$, $Z$ abgeschlossen, [mm] $y\in X\setminus [/mm] Z$, disjunkte Umgebungen von $y$ und $Z$ existieren. Bei deinem letzten Schritt ist aber nicht ausgeschlossen, dass [mm] $y\in [/mm] Z$...
Der richtige Beweis funktioniert so:
Zu jedem [mm] $x\in [/mm] A$ gibt es eine offene Umgebung [mm] $O_x$ [/mm] von $x$ und eine offene Umgebung [mm] $U_x$ [/mm] von $Z$ mit [mm] $O_x\cap U_x=\emptyset$.
[/mm]
Da [mm] $A\subset \bigcup\limits_{x\in A}O_x$, [/mm] ist [mm] $\{O_x\}_{x\in A}$ [/mm] eine offene Überdeckung von $A$. Da $A$ kompakt ist gibt es endlich viele [mm] $x_1,\dots, x_n\in [/mm] A$ mit [mm] $A\subset \bigcup\limits_{k=1}^nO_{x_k}$.
[/mm]
Setze [mm] $U:=\bigcap\limits_{k=1}^n U_{x_k}$. [/mm] Weil das ein Schnitt endlich vieler offener Mengen ist, ist $U$ offen. Weil [mm] $Z\subset U_{x_k}$ [/mm] für alle $k$ ist auch [mm] $Z\subset [/mm] U$.
Setze [mm] $O:=\bigcup\limits_{k=1}^n O_{x_k}$. [/mm] Auch $O$ ist offen. Insbesondere ist [mm] $O\supset [/mm] A$.
Außerdem gilt: [mm] $O\cap U=\emptyset$.
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mo 20.06.2005 | | Autor: | sara_20 |
Ich danke dir vielmals. Ich wusste schon dass man es so beweisen kann wie du geschrieben hast, denn so lautet der Beweis in vielen Buechern. Ich wollte es aber etwas anders versuchen. Ja, und deswegen danke, du hast Recht. Mein letzter Schritt im Beweis ist nicht gut. Ich glaube aber dennoch dass man es so beweisen koennte. Hast du eine Idee?
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