kompakt und stark stetig < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Do 19.06.2008 | | Autor: | obda1701 |
| Aufgabe | Seien (X, [mm] \|*\|), (Y,\|*\|) [/mm] Banachräume und sei T: X [mm] \to [/mm] Y linearer operator.
Zeige:
(i) T kompakt => T stark stetig
(ii) T stark stetig und T reflexiv => T kompakt
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Ich habe (ii) bereits bewiesen indem ich gezeigt habe, dass für alle beschränkten Teilmengen M aus X die Bildmenge T(M) relativ folgenkompakt ist...
Aber leider bin ich beim Beweis von (i) etwas ideenlos! Hat da jemand einen Weg für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
kannst Du bitte die Definition des Begriffs "Kompaktheit" für eine Funktion angeben? Ich kenne sie nur für Mengen....
Gruß djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Fr 20.06.2008 | | Autor: | obda1701 |
Ein Operator T: X -> Y ist genau dann kompakt, wenn [mm] T(B_{X}) [/mm] relativkompakt ist, also [mm] \overline{T(B_{X})} [/mm] kompakt.
Es ist jeder linearer operator T: X->Y genau dann kompakt, wenn T beschränkte Mengen auf realtivkompakte Mengen abbildet, bzw. wenn für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] in X die Folge [mm] (Tx_{n}) [/mm] in Y eine konvergente Teilfolge enthält
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Korrektur:
oben muß es heißen: ....................für jede beschränkte Folge in X............
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu (i)
Wäre T nicht stetig , so gäbe es eine Folge xn in X mit ||xn|| = 1 für jedes n und (||Txn||) strebt gegen unendlich. (Txn) enthält also keine konvergente Teilfolge.
FRED
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