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| Aufgabe | | Seien (X,d) und (Y,d) metrische Räume und sei f:X--> Y eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: Für jede Teilmenge M [mm] \subset [/mm] K, für die [mm] \overline{M} [/mm] kompakt ist, gilt [mm] f(\overline{M}) [/mm] = [mm] \overline{f(M)}. [/mm] |
Hallo,
ich möchte mich schon mal ein wenig auf unsere Klausur vorbereiten und da bin ich auf diese Aufgabe gestoßen. Ich hab mir nun folgendes bereits überlegt: [mm] (\overline{M}) [/mm] ist kompakt, d.h ja soviel, dass [mm] (\overline{M}) [/mm] auch abgeschlossen ist und damit ist mit jeder Folge auch ihr Grenzwert in [mm] (\overline{M}) [/mm] enthalten. Dann hab ich mir überlegt, was denn nun [mm] f(\overline{M}) [/mm] heißt. Das heißt ja der Funktionswert von allen x [mm] \in [/mm] X für die es eine Folge xk in M gibt mit x =lim xk. Was heißt aber [mm] \overline{f(M)}. [/mm] Naja, das müsste doch heißen, dass dies alle f(x) sind für die es eine Folge fk in M gibt mit f(x) = lim fk(x). Da die Funktion aber stetig ist, ist ja lim f(xk) = f(x) = lim fk(x).
Sowas in der Richtung habe ich mir überlegt, weiß aber nicht, ob das wirklich zu dem hier angegeben Ergebnis führt. Ich würde gerne noch benutzen, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind und Minimum und Maximum annehmen, weiß aber nicht wie. Würde mich über Hilfe sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 04.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien (X,d) und (Y,d) metrische Räume und sei f:X--> Y eine
> stetige Abbildung. Zeigen Sie: Für jede Teilmenge M [mm]\subset[/mm]
> K, für die [mm]\overline{M}[/mm] kompakt ist, gilt [mm]f(\overline{M})[/mm] =
> [mm]\overline{f(M)}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte mich schon mal ein wenig auf unsere Klausur
> vorbereiten und da bin ich auf diese Aufgabe gestoßen. Ich
> hab mir nun folgendes bereits überlegt: [mm](\overline{M})[/mm] ist
> kompakt, d.h ja soviel, dass [mm](\overline{M})[/mm] auch
> abgeschlossen ist und damit ist mit jeder Folge auch ihr
> Grenzwert in [mm](\overline{M})[/mm] enthalten.
Nur wenn es eine konvergente Folge ist. Aber da [mm]\overline{M}[/mm] kompakt ist, enthält jede Folge in [mm]\overline{M}[/mm] automatisch eine konvergente Teilfolge (und damit enthält jede Folge in M eine Teilfolge, die in [mm]\overline{M}[/mm] konvergiert).
> Dann hab ich mir
> überlegt, was denn nun [mm]f(\overline{M})[/mm] heißt. Das heißt ja
> der Funktionswert von allen x [mm]\in[/mm] X für die es eine Folge
> xk in M gibt mit x =lim xk.
Ja, wiederum, weil [mm] $\overline{M}$ [/mm] kompakt ist. Wäre es nur abgeschlossen, so müsste nicht jede unendliche Folge einen Häufungspunkt besitzen. Ein Beispiel dafür ist die Folge [mm] $x_n=n$, [/mm] also [mm] $1,2,3,4,\dots$, [/mm] die keinen Häufungspunkt in [mm] $\IR$ [/mm] hat.
> Was heißt aber [mm]\overline{f(M)}.[/mm]
> Naja, das müsste doch heißen, dass dies alle f(x) sind für
> die es eine Folge fk in M gibt mit f(x) = lim fk(x). Da die
> Funktion aber stetig ist, ist ja lim f(xk) = f(x) = lim
> fk(x).
Vorsicht: wenn du ein [mm] $y\in \overline{f(M)}$ [/mm] nimmst, das nicht zu [mm] $f(M)\,$ [/mm] gehört, dann weisst du zunächst mal nicht, ob es dazu ein [mm] $x\in \overline{M}$ [/mm] gibt, sodass $y=f(x)$. Du musst also zeigen, dass es immer so ein x gibt, dass also [mm] $\overline{f(M)} \subseteq f(\overline{M})$, [/mm] damit dieses Argument funktioniert.
> Sowas in der Richtung habe ich mir überlegt, weiß aber
> nicht, ob das wirklich zu dem hier angegeben Ergebnis
> führt. Ich würde gerne noch benutzen, dass stetige
> Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind
Dazu ein Tipp: Eine stetige Funktion f bildet eine kompakte Menge auf eine kompakte Menge ab, also ist [mm] $f(\overline{M})$ [/mm] kompakt und damit [mm] $\overline{f(\overline{M})} [/mm] = [mm] f(\overline{M})$. [/mm] Andererseits ist $M [mm] \subseteq \overline{M}$ [/mm] und daher auch [mm] $f(M)\subseteq f(\overline{M})$.
[/mm]
> und Minimum
> und Maximum annehmen, weiß aber nicht wie.
Das stimmt nur für Funktionen mit reellen Werten, weil die reellen Zahlen geordnet sind. Wenn du eine Funktion vom [mm] $\IR^2$ [/mm] ind den [mm] $\IR^2$ [/mm] hast, gibt es Maximum und Minimum nicht.
Viele Grüße
Rainer
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Hey, ich danke dir. Die eine Richtung hatte ich auch verstanden, und die andere Richtung ist jetzt mit deiner Hilfe auch klar. Eigentlich sieht die Aufgabe schwieriger aus, als sie ist. Vielen Dank.
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