kompakte Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Seien K und L kompakte Mengen des [mm] \IR^n [/mm] zeigen sie, dass auch [m] L \cap K, L \cup K und K + L [/m] kompakte Mengen sind.
So wenn man sich das überlegt ist es einfach sehr logisch, dass dies so stimmt. Kompakt heist ja nix anderes alls beschränkt und abgeschlossen.
Und da habe ich für K + L mir überlegt, dass ich mir Teilfolgen so bilde, dass sie in K und in L konvergieren. Wenn sie in K und in L konvergieren so konvergieren sie auch in K + L nach den Grenzwertsätzen.
Kann ich beim Durchschnitt und der Vereinigung genauso argumentieren?
Ungenau argumentiert heisst es doch bei der Vereinigung, dass die Ränder bestehen bleiben und dadurch wieder eine Beschränkung da ist und abgeschlossen da [mm] \IR^n. [/mm] (Bsp: K= [2...4] L=[4...6] => [m]L \cup K[/m]= [2...6])
Und beim Durchschnitt werden die Ränder aus dem [m]L \cup K[/m] rausgenommen dadurch [m]L \cup K \setminus K \cap L [/m] offen und [m]K \cap L [/m] geschlossen => kompakt. (Bsp: K=[1....5] L = [2.......8] dann ist ja [m]K \cap L [/m]= [2......5] und [m]L \cup K \setminus K \cap L [/m]=[1........2[ ]5.......8] )
Aber wie schreibe ich das genau mathematisch auf?
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Philipp!
Zu [mm] $K\cap [/mm] L$:
Da $K$ und $L$ kompakt sind, sind sie auch abgeschlossen. Dann ist auch [mm] $K\cap [/mm] L$ abgeschlossen und als abgeschlossene Menge der kompakten Menge $K$ wieder kompakt.
Zu $K [mm] \cup [/mm] L$:
Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge aus $K [mm] \cup [/mm] L$, die in [mm] $\IR^n$ [/mm] konvergiert. OBdA liegen in $K$ unendlich viele Folgenglieder. Sei [mm] $(k_n)_{n \in \IN}$ [/mm] die Teilfolge von [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die in $K$ liegt. Da $K$ abgeschlossen ist, gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} x_n [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} k_n \in [/mm] K [mm] \subset [/mm] K [mm] \cup [/mm] L$,
was zu zeigen war.
Zu $K +L$:
Mit $K$ und $L$ ist bekanntlich auch $K [mm] \times [/mm] L$ kompakt. Nun ist $K+L$ Bild unter der stetigen Abbildung:
[mm] $\varphi: \begin{array}{ccc} K \times L & \to & K+L \\[5pt] (k,l) & \mapsto & k+l \end{array}$,
[/mm]
also wieder kompakt.
Liebe Grüße
Stefan
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