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| Aufgabe | Sei X ein kompakter metrischer Raum und [mm] {K_{i}}_{i \in IN} [/mm] eine FAmilie abgeschlossener Teilmengen, sodass
[mm] \bigcap_{i=1}^{ \infty}K_{i} [/mm] = {} gilt.
Zeigen Sie, dass es ein n [mm] \in [/mm] IN gibt, sodass [mm] \bigcap_{i=1}^{n}K_{i} [/mm] = {} ist. |
Guten Morgen allerseits,
anschaulich ist diese Aufgabe relativ klar, wenn ich das überhaupt richtig vrstehe. Ich schneide lauter kompakte Teilmengen, die sich immer "überlappen". Irgendwann wird ein Schnitt so klein, dass eine kompakte Teilmenge außerhalb dieses Schnittes liegt. Von dort an ist der Schnitt leer...wobei mir dann die Voraussetzung, dass der unendliche Schnitt leer sein soll nicht ganz klar ist.
Ich habe versucht, es indirekt zu beweisen und die abgeschlossenen Teilmengen als Folgenglieder aufzufassen....aber wie soll ich den Grenzwert einer Menge verstehen?
Über das Komplement kompakter Mengen habe ich es auch schon versucht, komme da aber gar nicht weiter. Das Komplement von {} ist X....das hilft mir aber irgendwie nicht weiter. Wenn ich annehme, dass
[mm] \bigcap_{i=1}^{n}K_{i} [/mm] = K , also dass der endliche Schnitt nicht leer wird, kann ich das Komplement von K nehmen: [mm] X\K.....das [/mm] ist jetzt die Menge X mit "Loch in der Mitte"....dort komme ich aber wieder nicht weiter.
Mir fehlt irgendwie der erfolgversprechende Ansatz.
Ich wäre für eine Erklärung sehr dankbar.
Viele Grüße
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Sa 21.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> anschaulich ist diese Aufgabe relativ klar, wenn ich das
> überhaupt richtig vrstehe.
Da möchte ich einhacken - warum ist das klar? Für offene Mengen ist das zB einfach falsch - ein Gegenbeispiel ist [m](0,\bruch{1}{n}),n\in\IN[/m]. Auch bei abgeschlossenne Mengen ist das falsch - man kann kann ja abzählbar viele, isolierte Punkte nehmen, und durch das Schneiden immer wieder Punkte vergessen. Kompakte Mengen sind in dieser Beziehung eher etwas besonderes.
> Ich schneide lauter kompakte
> Teilmengen, die sich immer "überlappen". Irgendwann wird
> ein Schnitt so klein, dass eine kompakte Teilmenge
> außerhalb dieses Schnittes liegt.
Wieso? Den Gedankengang kann ich nicht nachvollziehen.
> Von dort an ist der
> Schnitt leer...wobei mir dann die Voraussetzung, dass der
> unendliche Schnitt leer sein soll nicht ganz klar ist.
Den braucht man wie ein Bissen Brot.
> Ich habe versucht, es indirekt zu beweisen und die
> abgeschlossenen Teilmengen als Folgenglieder
> aufzufassen....aber wie soll ich den Grenzwert einer Menge
> verstehen?
Da steht ja kein Grenzwert einer Menge, sondern einfach der Schnitt. Aber Folge ist ja ganz nett, und Widerspruch auch. Ich geb mal folgenden Tip: wenn die endlichen Schnitte nicht leer sein würden, dann würde man ja immer eine Element in ihnen finden. So jetzt hat man ja eine Folge konstruiert ...
SEcki
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