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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Do 07.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich bin auf das folgende Beispiel gestoßen, bei welchen ich HIlfe benötige um es zu verstehen.
Definiere [mm] h: \mathbb R \to \mathbb R [/mm] durch
[mm] h(x) =\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{für } x \le 0 \\
e^{ - \bruch{1}{x^2} }, & \mbox{für } x > 0
\end{matrix}\right.
[/mm]
Nach Analysis I ist [mm] h \in C^\infty ( \mathbb R ) [/mm].
Sei jetzt
[mm] h_0 (x) := h(1+x) \cdot h(1-x) [/mm]
Dann ist [mm] h_0 [/mm] Testfunktion auf den reellen Zahlen und
[mm] Supp (h_0 ) = \left[-1,1 \right] [/mm].
Wobei mit [mm] supp (h_0) [/mm] der Träger von der Funktion gemeint ist.
So, und nun zu meinen Fragen:
Warum definiert man [mm] h_0 [/mm] so?
Und ich sehe nicht, dass [mm] h_0 [/mm] eine Testfunktion ist, das heißt, schon dass die von der Klasse [mm] C^\infty [/mm] ist, da die Ausgangsfunktion h auch von der Klasse ist, aber das mit dem kompakten Träger sehe ich nicht.
Warum ist denn das so?
Vielen Dank.
Viele Grüße
irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Do 07.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo alle zusammen!
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> Ich bin auf das folgende Beispiel gestoßen, bei welchen ich
> HIlfe benötige um es zu verstehen.
>
> Definiere [mm]h: \mathbb R \to \mathbb R[/mm] durch
>
> [mm]h(x) =\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{für } x \le 0 \\
e^{ - \bruch{1}{x^2} }, & \mbox{für } x > 0
\end{matrix}\right.
[/mm]
>
> Nach Analysis I ist [mm]h \in C^\infty ( \mathbb R ) [/mm].
>
> Sei jetzt
> [mm]h_0 (x) := h(1+x) \cdot h(1-x)[/mm]
>
> Dann ist [mm]h_0[/mm] Testfunktion auf den reellen Zahlen und
> [mm]Supp (h_0 ) = \left[-1,1 \right] [/mm].
>
> Wobei mit [mm]supp (h_0)[/mm] der Träger von der Funktion gemeint
> ist.
>
>
> So, und nun zu meinen Fragen:
>
> Warum definiert man [mm]h_0[/mm] so?
> Und ich sehe nicht, dass [mm]h_0[/mm] eine Testfunktion ist, das
> heißt, schon dass die von der Klasse [mm]C^\infty[/mm] ist, da die
> Ausgangsfunktion h auch von der Klasse ist, aber das mit
> dem kompakten Träger sehe ich nicht.
> Warum ist denn das so?
[mm] [-1,1] ist kompakt [/mm].
>
> Vielen Dank.
> Viele Grüße
> irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 07.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Mir ist schon bewusst, dass [mm] \left[-1.1 \right] [/mm] kompakt ist.
Ich sehe nur nicht, dass die Funktion [mm] h_0 [/mm] genau diesen Träger hat, sprich, dass genau diese Intervall der Abschluss der Menge ist, wo die FUnktionswerte ungleich Null sind ... Das ist mein Problem , leider!
Und Ich weiß immernoch nicht, warum man ausgerechnet [mm] h_0 [/mm] so gewählt hat... GIbt es da ein Prinzip hinter, oder ist das einfach so gewählt worden, um zu zeigen dass man mit Hilfe einer Funktion der Klasse [mm] C^\infty [/mm] eine Testfunktion basteln kann ...
Vielen Dank!
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Do 07.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Mir ist schon bewusst, dass [mm]\left[-1.1 \right][/mm] kompakt
> ist.
> Ich sehe nur nicht, dass die Funktion [mm]h_0[/mm] genau diesen
> Träger hat, sprich, dass genau diese Intervall der
> Abschluss der Menge ist, wo die FUnktionswerte ungleich
> Null sind ... Das ist mein Problem , leider!
Fall 1: x>1: dann 1-x<0, also h(1-x) = 0, somit: [mm] h_0(x) [/mm] = 0
Fall 2: x<-1: dann ............ [mm] h_0(x) [/mm] = 0
Fall 3: x [mm] \in [/mm] [-1,1]: dann [mm] ............h_0(x) \not= [/mm] 0
>
> Und Ich weiß immernoch nicht, warum man ausgerechnet [mm]h_0[/mm] so
> gewählt hat... GIbt es da ein Prinzip hinter, oder ist das
> einfach so gewählt worden, um zu zeigen dass man mit Hilfe
> einer Funktion der Klasse [mm]C^\infty[/mm] eine Testfunktion
> basteln kann ...
>
> Vielen Dank!
> Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Do 07.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Wenn ich Fallunterscheidung fortführe, dann ist
2. Fall :
Für [mm] x < -1 [/mm] ist [mm] 1+x < 0 [/mm]. Deswegen
[mm] h(1+x) = 0 [/mm] und somit schließlich [mm] h_0 = 0 [/mm]
3. Fall:
Füt [mm] -1 < x < 1 [/mm] ist [mm] h_0 \ne [/mm] 0 [/mm] und deswegen ist natürlich der kompalte Träger das abgeschlossene Intervall [mm] \left[-1,1 \right] [/mm].
Das habe ich jetzt nachvollzogen, warum ausgerechnet dieses Intervall es ist.
Vielen Dank für die Hilfe!
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Do 07.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Bitteschön
FRED
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