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| Aufgabe | Sei E ein endlichdimensionaler normierter Raum und S := { x [mm] \in [/mm] E | ||x|| = 1}. Äquivalent sind:
i) E ist endlichdimensional.
ii) Jede beschränkte und abgeschlossene Menge ist kompakt.
iii) Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.
iv) S ist kompakt. |
Hallo!
Ich versuche, den Schritt i) ==> ii) zu verstehen. Im Buch Funktionalanalysis von Dirk Werner z. B. steht schlicht, dass das direkt aus der Äquivalenz der Normen folgen würde, was mir jedoch nicht einleuchtet. Habe ziemlich lange gesucht und überlegt aber keinen echten Ansatz... Kann mir jemand dazu vll. einen Tipp geben?
VG und schönen Abend =)
Christof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:40 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei E ein endlichdimensionaler normierter Raum und $S := [mm] \{ x \in E | \;\;\;\|x\| = 1\}$. [/mm] Äquivalent sind:
>
> i) E ist endlichdimensional.
> ii) Jede beschränkte und abgeschlossene Menge ist kompakt.
> ...
wird wirklich [mm] $E\,$ [/mm] schon als endlichdimensional vorausgesetzt? Dann machen nämlich die Äquivalenzformulierungen so keinen Sinn (natürlich bleiben Sie richtig, aber (i) wäre dann immer wahr, und damit auch (ii) bis (iv))...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Oh, okay das stimmt, E ist nicht als endlichdimensional vorausgesetzt. E ist nur ein normierter Raum. Und dann soll gezeigt werden, dass im Fall, dass E endlichdimensional ist auch jede beschränkte und abgeschlossene Teilmenge kompakt ist (bzw. die übrigen Äquivalenzen gelten).
Grüße,
Christof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 04.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich versuche, den Schritt i) ==> ii) zu verstehen. Im Buch
> Funktionalanalysis von Dirk Werner z. B. steht schlicht,
> dass das direkt aus der Äquivalenz der Normen folgen
> würde, was mir jedoch nicht einleuchtet.
Mir auch nicht.
> Habe ziemlich
> lange gesucht und überlegt aber keinen echten Ansatz...
> Kann mir jemand dazu vll. einen Tipp geben?
Falls [m]a_n[/m] eine beliebige Folge ist und E endlich-dim. mit Basis [m]v_i[/m], dann kann man eine Darstellung [m]a_n=\sum a_{n;i}v_i[/m] finden und es auf die rellen Zahlen zurückführen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:03 Do 05.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich versuche, den Schritt i) ==> ii) zu verstehen. Im Buch
> > Funktionalanalysis von Dirk Werner z. B. steht schlicht,
> > dass das direkt aus der Äquivalenz der Normen folgen
> > würde, was mir jedoch nicht einleuchtet.
>
> Mir auch nicht.
es steht auch so nicht da. Wenn man genau liest, hat Werner sowas geschrieben bzw. meint sowas wie, dass der Beweis, den er für die Äquivalenz von Normen in endlichdimensionalen Vektorräumen führt, die Informationen enthält, um zu zeigen, dass in endlichdimensionalen Vektorräumen beschränkte und abgeschlossene Teilmengen kompakt sind.
Aber es ist echt eine unglückliche Formulierung dort (sie folgt direkt nach dem Beweis der Äquivalenz von Normen in endl.-dim. normierten Räumen)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Hallo!
Wollte mich nochmal zu Wort melden, habe die Frage gelöst, sprich die Äquivalenzen in meinem ersten post gezeigt, aber es hat mich doch wesentlich mehr Zeit gekostet als gedacht. Warum Dirk Werner schreibt, dass in dem Beweis über die Äquivalenz von Normen die notwendige Information steckt um dann meine Frage zu beantworten weiß ich nicht, habe seinen Beweis nicht durchgearbeitet (ich hab diesen Satz aus "Numerik linearer Gleichungssysteme" von Andreas Meister), aber ich finde die Formulierung dort echt irreführend. Naja, Hauptsache das Problem ist gelöst und danke für eure Antworten.
Christof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mi 11.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Warum Dirk Werner schreibt, dass in dem Beweis
> über die Äquivalenz von Normen die notwendige Information
> steckt um dann meine Frage zu beantworten weiß ich nicht,
> habe seinen Beweis nicht durchgearbeitet
Wenn man ihn nicht durcharbeitet, sieht man das dann wohl auch nicht. Anyway: man braucht für die Äquivalenz ganz dringend, dass S kompakt ist - also wird man dies aus E endlich-dim. her beweisen. In so fern wird er das wohl meinen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Do 12.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Wollte mich nochmal zu Wort melden, habe die Frage gelöst,
> sprich die Äquivalenzen in meinem ersten post gezeigt,
> aber es hat mich doch wesentlich mehr Zeit gekostet als
> gedacht. Warum Dirk Werner schreibt, dass in dem Beweis
> über die Äquivalenz von Normen die notwendige Information
> steckt um dann meine Frage zu beantworten weiß ich nicht,
> habe seinen Beweis nicht durchgearbeitet (ich hab diesen
> Satz aus "Numerik linearer Gleichungssysteme" von Andreas
> Meister), aber ich finde die Formulierung dort echt
> irreführend.
ja, das ist sie. Man könnte ihn ruhig mal drauf hinweisen (und wenn er anderer Meinung ist, kann er in seinem Buch ja einen Hinweis/Kommentar geben, warum das "für ihn" trivial ist). Ich denke einfach, dass das ein Teil des Buches ist, wo er am Ende was am Anfang eingefügt hat. Wenn man das Buch weiter durcharbeitet, aber da muss man schon so mal eben locker ein paar Seiten überspringen - und nicht gerade wenige an der Zahl, dann wird's irgendwann klar(er).
> Naja, Hauptsache das Problem ist gelöst und
> danke für eure Antworten.
Ich find's immer gut, wenn Leute auf sowas aufmerksam machen und werden. Auch ich nehme vieles nicht einfach so hin, sondern will sowas geklärt haben. So manch' andere Leute sind dann ein wenig genervt und sind der Meinung, dass das "Zeitverschwendung" sei, weil sich doch schon genug andere darüber Gedanken gemacht haben. Ich bin der Meinung: Vermutlich machen das nicht allzu viele, und so können durchaus auch Fehler weitergegeben werden. Einfach nur, weil sich jemand nicht genug Zeit nehmen wollte. Und gerade in der Mathematik finde ich es gefährlich, wenn mit "falschem" etwas weiterentwickelt wird.
Einer meiner Profs. hatte mal in einem seiner Beweise meiner Meinung nach nur einen Vorzeichenfehler - aber damit war der Beweis so nicht mehr durchführbar. Er hat ihn seit Jahren immer wieder so vorgeführt, da er ihn selbst so entwickelt hat. Er hat meinen Fehlerhinweis nicht akzeptiert oder mir bis heute nicht erklärt, wo ich mich verrechnet habe - sondern meinte nur: "Das mache ich seit Jahren so, da habe ich viel Zeit rein investiert, den Beweis selbst so zu entwickeln."
Klar, ich wollte ihm nicht auf die Füße treten (insbesondere nicht kurz vor meiner Diplomprüfung bei ihm ^^) - aber bis heute habe ich keine Antwort mehr dazu bekommen. Im Gegenteil, einer meiner Kommilitonen (der beste unseres Jahrgangs) hat sich das ganze angeguckt und meinte auch, dass er bei mir keinen Fehler finde.
Nun ja, zum Glück gab's für den Satz eh schon mehrere Beweise - da denke ich dann schon eher, dass sicher einer schon stimmen wird. Aber überzeugen würde ich mich immer davon - zumindest, wenn die Aussage für mich irgendwie relevant ist! (Oder wenn ich einfach dran interessiert oder begeistert bin!)
Gruß,
Macel
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