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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - kompl. Zahl
kompl. Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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kompl. Zahl: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mo 07.12.2009
Autor: Matheproof

Hallo zusammen,

könnt ihr bitte mal schauen, ob ich das richtig gemacht habe

Aufgabe 1:
Seien z=x+i*y und w = u + i*v komplexe Zahlen mit [mm] w\not=0 [/mm]
Stelle [mm] \bruch [/mm] {z}{w} in der Form a + i*b mit a,b [mm] \in \IR [/mm] dar.

Meine Lösung:
[mm] \bruch{z}{w} [/mm] = [mm] \bruch{x+ iy}{u+iv} [/mm] = [mm] \bruch{(x+ iy)*(u-iv)}{(u+iv)*(u-iv)} [/mm] = [mm] \bruch {xu-xiv+iyu+yv}{u^{2} + v^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{xu+yv+i(-xv+yu)}{u^{2} + v^{2}}= \bruch{xu+yv}{u^{2} + v^{2}} [/mm] + i* [mm] \bruch{(-xv+yu)}{u^{2} + v^{2}} [/mm]

Aufgabe 2:

Berechne die komplexen Zahlen z1= [mm] \bruch{2+i}{3-i} [/mm] und stelle sie in der Form a+ ib dar. Berechne |z1|.

Meine Lösung:
z1= [mm] \bruch{2+i}{3-i} [/mm] =  [mm] \bruch{(2+i)*(3+i)}{(3-i)*(3+i)} [/mm] = [mm] \bruch{5+5i}{10} [/mm] = [mm] \bruch{5}{10} [/mm] + i* [mm] \bruch{5}{10} [/mm] = [mm] \bruch{2}{5} [/mm] + i * [mm] \bruch{2}{5} [/mm]

|z1| = [mm] \wurzel{(\bruch{2}{5})^{2} +(\bruch{2}{5})^{2} } [/mm] = [mm] \bruch{4}{5} [/mm]

Aufgabe 3
Berechne die komplexen Zahlen z2= [mm] \bruch{(1.5 +3i)*(6,4-14i)}{7+3i} [/mm] - (22-5i) und stelle sie in der Form a+ ib dar. Berechne |z2|.

Lösung:
z2= [mm] \bruch [/mm] {(1.5 +3i)*(6,4-14i)}{7+3i} - (22-5i) =  [mm] \bruch{(1.5 +3i)*(6,4-14i)}{7+3i} [/mm] - [mm] \bruch{(22-5i)(7+3i)}{7+3i} [/mm] = [mm] \bruch{(9.6-21i + 19,2i-42* i^{2}) - (154+66i-35i-15*i^{2})}{7+3i} [/mm] =
[mm] \bruch{-1174-32,8i}{7+3i} [/mm]

So, das war erstmal nur umgeformt. Jetzt erweiter ich mit (7-3i)

[mm] \bruch{(-1174-32,8i)(7-3i)}{(7+3i)(7-3i)} [/mm] = [mm] \bruch{-8218+3522i-229,6i+98,4}{49+9} [/mm] = [mm] \bruch{-81196 + 3292,4i}{58}=\bruch{-81196}{58} [/mm] + i* [mm] \bruch{3292,4}{58} [/mm] = 1399,93 + i*56,77

|z2|= [mm] \wurzel{1399,93^{2} + 56,77^{2}} [/mm] = 1456,7


so, endlich fertig =)

Hab ich das Richtig gerechnet?

Danke im Voraus

        
Bezug
kompl. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mo 07.12.2009
Autor: fred97

Aufgabe 1 ist korrekt

Zu Aufgabe 2:  [mm] \bruch{5}{10} \not= \bruch{2}{5} [/mm]          !!!!

Aufgabe 3 hab ich nicht kontrolliert

FRED

Bezug
        
Bezug
kompl. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mo 07.12.2009
Autor: Denny22

Hallo,

> Hallo zusammen,
>  
> könnt ihr bitte mal schauen, ob ich das richtig gemacht
> habe

Okay.

> Aufgabe 1:
>  Seien z=x+i*y und w = u + i*v komplexe Zahlen mit [mm]w\not=0[/mm]
>  Stelle [mm]\bruch[/mm] {z}{w} in der Form a + i*b mit a,b [mm]\in \IR[/mm]
> dar.
>  
> Meine Lösung:
>  [mm]\bruch{z}{w}[/mm] = [mm]\bruch{x+ iy}{u+iv}[/mm] = [mm]\bruch{(x+ iy)*(u-iv)}{(u+iv)*(u-iv)}[/mm]
> = [mm]\bruch {xu-xiv+iyu+yv}{u^{2} + v^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{xu+yv+i(-xv+yu)}{u^{2} + v^{2}}= \bruch{xu+yv}{u^{2} + v^{2}}[/mm]
> + i* [mm]\bruch{(-xv+yu)}{u^{2} + v^{2}}[/mm]

Diese Aufgabe hat Fred nachgesehen, daher schaue ich sie mir nicht mehr an.

> Aufgabe 2:
>  
> Berechne die komplexen Zahlen z1= [mm]\bruch{2+i}{3-i}[/mm] und
> stelle sie in der Form a+ ib dar. Berechne |z1|.
>  
> Meine Lösung:
>  z1= [mm]\bruch{2+i}{3-i}[/mm] =  [mm]\bruch{(2+i)*(3+i)}{(3-i)*(3+i)}[/mm] =
> [mm]\bruch{5+5i}{10}[/mm] = [mm]\bruch{5}{10}[/mm] + i* [mm]\bruch{5}{10}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{5}[/mm] + i * [mm]\bruch{2}{5}[/mm]

Wie hast Du hier denn gekürzt? In der letzten Zeile muss

     [mm] $=\red{\bruch{1}{2}}+\red{\frac{1}{2}}i$ [/mm]

stehen. Nun berechne [mm] $|z_1|$ [/mm] erneut.

> |z1| = [mm]\wurzel{(\bruch{2}{5})^{2} +(\bruch{2}{5})^{2} }[/mm] =
> [mm]\bruch{4}{5}[/mm]
>  
> Aufgabe 3
>  Berechne die komplexen Zahlen z2= [mm]\bruch{(1.5 +3i)*(6,4-14i)}{7+3i}[/mm]
> - (22-5i) und stelle sie in der Form a+ ib dar. Berechne
> |z2|.
>  
> Lösung:
>  z2= [mm]\bruch[/mm] {(1.5 +3i)*(6,4-14i)}{7+3i} - (22-5i) =  
> [mm]\bruch{(1.5 +3i)*(6,4-14i)}{7+3i}[/mm] -
> [mm]\bruch{(22-5i)(7+3i)}{7+3i}[/mm] = [mm]\bruch{(9.6-21i + 19,2i-42* i^{2}) - (154+66i-35i-15*i^{2})}{7+3i}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{-1174-32,8i}{7+3i}[/mm]

Hier hast Du vermutlich ein Komma vergessen:

     [mm] $\frac{-\red{117.4}-32.8i}{7+3i}$ [/mm]

Zusätzlich zu dem Komma steckt ein weiterer Fehler steckt in der folgenden Rechnung. Überprüfe diese bitte selbst nochmal.

> So, das war erstmal nur umgeformt. Jetzt erweiter ich mit
> (7-3i)
>  
> [mm]\bruch{(-1174-32,8i)(7-3i)}{(7+3i)(7-3i)}[/mm] =
> [mm]\bruch{-8218+3522i-229,6i+98,4}{49+9}[/mm] = [mm]\bruch{-81196 + 3292,4i}{58}=\bruch{-81196}{58}[/mm]
> + i* [mm]\bruch{3292,4}{58}[/mm] = 1399,93 + i*56,77
>  
> |z2|= [mm]\wurzel{1399,93^{2} + 56,77^{2}}[/mm] = 1456,7

Das richtige Ergebnis an dieser Stelle wäre

     [mm] $|z_2|=\red{16.00571019}$ [/mm]

> so, endlich fertig =)
>  
> Hab ich das Richtig gerechnet?
>  
> Danke im Voraus


Bezug
                
Bezug
kompl. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 07.12.2009
Autor: Matheproof

Hallo,

Danke für die Antwort

bei der Aufgabe 2 hab ich mich vertan.
|z1| = [mm] \wurzel{(\bruch{1}{5})^2 + (\bruch{1}{5})^2} =\bruch{2}{5} [/mm]


Aufgabe 3

ich komm aber irgendwie nicht auf deine Lösung: |z2|=16.005

> Hier hast Du vermutlich ein Komma vergessen:
>  
> [mm]\frac{-\red{117.4}-32.8i}{7+3i}[/mm]
>  

Stimmt, hab ich vergessen u. falsch weitergerechnet XD

[mm] \bruch{(-117,4-32,8i)(7-3i)}{(7+3i)(7-3i)} [/mm] =  [mm] \bruch{-821,8+352,2i-229,6i+98,4}{49+9} [/mm]  =  [mm] \bruch{-723,4+122,6i}{58} [/mm] =

[mm] \bruch{-723,4}{58}+i*\bruch{122,6i}{58} [/mm] = -12,4724 + i * 2,1138

|z2|= [mm] \wurzel{(-12,4724)^2 + (2,1138)^2} [/mm] = -10,3586


ich komme aber nicht auf deine Lösung :-/







Bezug
                        
Bezug
kompl. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Mo 07.12.2009
Autor: fencheltee


> Hallo,
>  
> Danke für die Antwort
>  
> bei der Aufgabe 2 hab ich mich vertan.
>  |z1| = [mm]\wurzel{(\bruch{1}{5})^2 + (\bruch{1}{5})^2} =\bruch{2}{5}[/mm]
>  
>
> Aufgabe 3
>  
> ich komm aber irgendwie nicht auf deine Lösung:
> |z2|=16.005
>  
> > Hier hast Du vermutlich ein Komma vergessen:
>  >  
> > [mm]\frac{-\red{117.4}-32.8i}{7+3i}[/mm]
>  >  
> Stimmt, hab ich vergessen u. falsch weitergerechnet XD
>  
> [mm]\bruch{(-117,4-32,8i)(7-3i)}{(7+3i)(7-3i)}[/mm] =  
> [mm]\bruch{-821,8+352,2i-229,6i+98,4}{49+9}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{-723,4+122,6i}{58}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{-723,4}{58}+i*\bruch{122,6i}{58}[/mm] = -12,4724 + i *
> 2,1138
>  
> |z2|= [mm]\wurzel{(-12,4724)^2 + (2,1138)^2}[/mm] = -10,3586
>  
>
> ich komme aber nicht auf deine Lösung :-/

hallo
dein realteil ist falsch..
mal ne frage.. hackst du das alles in nen taschenrechner der nicht komplex rechnen kann?
und warum erweiterst du -(22-5i) am anfang der aufgabe auf den selben nenner wie der komplexgemischte bruch davor? dadurch wird einiges noch"hässlicher" im sinne von unübersichtlich...

>  
>
>
>
>
>  

realteil sollte etwa -15.86 sein

gruß tee

Bezug
                                
Bezug
kompl. Zahl: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Mo 07.12.2009
Autor: Matheproof


>  hallo
>  dein realteil ist falsch..
>  mal ne frage.. hackst du das alles in nen taschenrechner
> der nicht komplex rechnen kann?
>  und warum erweiterst du -(22-5i) am anfang der aufgabe auf
> den selben nenner wie der komplexgemischte bruch davor?
> dadurch wird einiges noch"hässlicher" im sinne von
> unübersichtlich...

Haste Recht ;-)
ich hab das jetzt anders gelöst und bekomme für |z2| =  -13,75171

> realteil sollte etwa -15.86 sein

ja das hab ich jetzt auch raus ^^

Danke für die Hilfe


Bezug
                                        
Bezug
kompl. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Mo 07.12.2009
Autor: fencheltee


> >  hallo

>  >  dein realteil ist falsch..
>  >  mal ne frage.. hackst du das alles in nen
> taschenrechner
> > der nicht komplex rechnen kann?
>  >  und warum erweiterst du -(22-5i) am anfang der aufgabe
> auf
> > den selben nenner wie der komplexgemischte bruch davor?
> > dadurch wird einiges noch"hässlicher" im sinne von
> > unübersichtlich...
>  
> Haste Recht ;-)
>  ich hab das jetzt anders gelöst und bekomme für |z2| =  
> -13,75171

hallo,
wie schaffst du es, einen betrag negativ werden zu lassen? hattest du eben schonmal so..
und wie kommst du auf diesen wert, der falsch ist? (knapp [mm] \red{+}16) [/mm] sollte herauskommen

[mm] |x|=\sqrt{Im(x)^2+Re(x)^2} [/mm]

>  
> > realteil sollte etwa -15.86 sein
>  
> ja das hab ich jetzt auch raus ^^
>  
> Danke für die Hilfe
>  

also nochmal drüber schauen!
evtl hast du was falsch abgeschrieben oder aber eine kleine wissenslücke?!

gruß tee

Bezug
                                                
Bezug
kompl. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Mo 07.12.2009
Autor: Matheproof

sorry, ich weiß echt nicht mehr wie ich auf sowas gekommen bin.

also, bei der Aufgabe 2 hatte ich dann auch ein Fehler:
|z1| = [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2})^2 + (\bruch{1}{2})^2}= [/mm] 0.707

und bei Aufg. 3 hab ich jetzt auch für |z2| = 16.0056

das müsste jetzt aber richtig sein

;-)


Bezug
                                                        
Bezug
kompl. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Mo 07.12.2009
Autor: leduart

Hallo
jetzt alles ok
Gruss leduart

Bezug
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