komplex differenzierbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Wo sind folgende Funktionen komplex differenzierter? Wo sind sie holomorph?
a) $f(x,y)= xy+x+ixy$
b) [mm] $f(x,y)=y^{2}sin(x)+iy$ [/mm] |
Hallo!
Es ist $f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)$ und [mm] $u_{x} [/mm] = [mm] \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}$ [/mm] bzw. [mm] $v_{x} [/mm] = [mm] \frac{\partial v(x,y)}{\partial x}$
[/mm]
a) $ f(x,y)= f(x+iy)= xy+x+ixy$
Für die komplexe differenzierbarkeit muss gelten die CauchyRiemann DGL:
$(1): [mm] u_{x} [/mm] = y+1 = x = [mm] v_{y}$
[/mm]
$(2): [mm] u_{y}= [/mm] x = -y = [mm] -v_{x}$
[/mm]
setzt man (2) in (1) ein ergibt sich $1=0$ , also ist f(x,y) nirgends komplex differenzierbar und damit auch nirgends holomorph.
b) [mm] $f(x,y)=y^{2}sin(x)+iy$ [/mm]
Cauchy Riemann DGL:
$(1): [mm] u_{x} [/mm] = [mm] y^{2}cos(x) [/mm] = 1 = [mm] v_{y}$
[/mm]
$(2): [mm] u_{y} [/mm] = 2y sin (x) = 0 = [mm] -v_{x}$
[/mm]
Die Bedingungsgleichungen werden erfüllt für $(0,1)$ und $(0,-1)$, also ist f(x,y) dort komplex differenzierbar, aber da es kein zusammenhängendes offenes Gebiet ist, nicht holomorph.
Stimmt das so?
Danke für jegliche Hilfestellung!
Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 02.10.2011 | | Autor: | wauwau |
im prinzip hast du mit deiner Methode recht, nur ist leider die letzte Schlussfolgerung von Pt 1 falsch (einfach falsch eingesetzt!)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo wauwau,
> pt 1
Es ist $f(x,y)= xy+x+ixy$
CauRieDGL:
$(1): [mm] u_{x} [/mm] = y+1 = x = [mm] v_{y}$
[/mm]
$(2): [mm] u_{y}= [/mm] x = -y = [mm] -v_{x}$
[/mm]
$(2) [mm] \rightarrow [/mm] (1) : [mm] y=-\frac{1}{2} \gdw x=\frac{1}{2}$
[/mm]
also nur in einem Punkt [mm] (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) [/mm] komplex dfbr. aber nicht holomorph.
> wauwau
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
