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| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung f: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \{0\}\rightarrow \IC [/mm] ,z [mm] \rightarrow [/mm] 1/2(z+ (1/z))
a.) Bestimmen Sie die Fixpunkte
b.) An welchen Punkten im Bildbereich ist die Abbildung f nicht winkeltreu?
c.) Bestimmen Sie das Bild des Einheitskreises [mm] \begin{vmatrix}
z \\
\end{vmatrix} [/mm] =1.
d.) Gibt es im Ursprung zentrierte Fixkreise? |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Ich bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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Hallo,
> Gegeben ist die Abbildung f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\{0\}\rightarrow \IC[/mm] ,z
> [mm]\rightarrow[/mm] 1/2(z+ (1/z))
>
> a.) Bestimmen Sie die Fixpunkte
> b.) An welchen Punkten im Bildbereich ist die Abbildung f
> nicht winkeltreu?
> c.) Bestimmen Sie das Bild des Einheitskreises
> [mm]\begin{vmatrix}
z \\
\end{vmatrix}[/mm] =1.
> d.) Gibt es im Ursprung zentrierte Fixkreise?
> Hallo,
>
> ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
- Für die Fixpunkte musst du die Gleichung
[mm] z=\bruch{1}{2}*\left(z+\bruch{1}{z}\right)
[/mm]
lösen.
- Für die Winkeltreue musst du untersuchen, wo f komplex differenzierbar ist mit [mm] f'(z_0)\ne{0}
[/mm]
- Der Einheitskreis ist die durch
|z|=1
beschriebene Menge.
- Vewrwende bei d) die Erkenntnisse aus c).
Gruß, Diophant
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Hallo,
mein Rechenweg für a.:
z= 1/2(z+1/z)
z=1/2z+1/(2z)
z-1/2z=1/(2z)
1/2z=1/(2z)
[mm] z^2=1
[/mm]
[mm] z=\wurzel{1}
[/mm]
z=1
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 13.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> mein Rechenweg für a.:
>
> z= 1/2(z+1/z)
> z=1/2z+1/(2z)
> z-1/2z=1/(2z)
> 1/2z=1/(2z)
> [mm]z^2=1[/mm]
> [mm]z=\wurzel{1}[/mm]
Nein: Sondern [mm]z=\pm \wurzel{1}[/mm]
> z=1
Nein. Sondern $z= [mm] \pm [/mm] 1$
FRED
>
> Gruß
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Hallo,
Danke für die Antworten.
Mein Rechenweg für b.:
[mm] \limes_{h \to 0} \bruch{f(z+h)-f(z)}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h \to 0} \bruch{(1/z)((z+h)+1/(z+h))-(1/z)(z+(1/z))}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h \to 0} \bruch{h+(1/h)}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h \to 0} [/mm] h/h+(1/h)/h
[mm] \limes_{h \to 0} [/mm] h/h+h/h
[mm] \limes_{h \to 0} [/mm] 1+1
[mm] \limes_{h \to 0} [/mm] 2=2
Die Funktion ist für alle z [mm] \in \IC [/mm] komplex differenzierbar.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Danke für die Antworten.
>
> Mein Rechenweg für b.:
>
> [mm]\limes_{h \to 0} \bruch{f(z+h)-f(z)}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \to 0} \bruch{(1/z)((z+h)+1/(z+h))-(1/z)(z+(1/z))}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \to 0} \bruch{h+(1/h)}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \to 0}[/mm] h/h+(1/h)/h
>
> [mm]\limes_{h \to 0}[/mm] h/h+h/h
>
> [mm]\limes_{h \to 0}[/mm] 1+1
>
> [mm]\limes_{h \to 0}[/mm] 2=2
Das ist doch völliger Unsinn !
>
> Die Funktion ist für alle z [mm]\in \IC[/mm] komplex
> differenzierbar.
nein. In z=0 ist das nicht der Fall, da ist f nämlich gar nicht definiert !
Berechne f'(z) und schau nach, in welchen Punkten z gilt: f'(z) [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
>
> Gruß
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Hallo,
habe f'(z) berechnet:
[mm] f'(z)=(1/2)(1-(1/z^2))
[/mm]
f'(z)=0
[mm] (1/2)(1-(1/z^2))=0
[/mm]
[mm] (1/2)-(1/(2z^2))=0
[/mm]
1/2= [mm] 1/(2z^2)
[/mm]
[mm] z^2=1
[/mm]
z= [mm] \pm [/mm] 1
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> habe f'(z) berechnet:
>
> [mm]f'(z)=(1/2)(1-(1/z^2))[/mm]
>
> f'(z)=0
>
> [mm](1/2)(1-(1/z^2))=0[/mm]
>
> [mm](1/2)-(1/(2z^2))=0[/mm]
>
> 1/2= [mm]1/(2z^2)[/mm]
>
> [mm]z^2=1[/mm]
>
> z= [mm]\pm[/mm] 1
Stimmt
FRED
>
> Gruß
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Hallo,
Ich habe eine letzte Frage zu b was bedeutet z= [mm] \pm [/mm] 1? In den Punkten -1 und + 1 im Bildbereich ist die Abbildung f nicht winkeltreu???
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 16.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
mein Rechenweg für c.:
[mm] \left\{ z \in \IC :\left| z \right|= 1, R=1 \right\}
[/mm]
[mm] =\left\{ z = re^(iphi): r= R=1, phi \in \left[ 0,2pi \right] \right\}
[/mm]
f(z)=(1/2) (z+(1/z))
f(e^(iphi))=(1/2) ((e^(iphi))+1/(e^(iphi))
[mm] \left\{ w \in \IC :w= (1/2)((e^(iphi)+1/(e^(iphi)),phi \in \left[ 0,2pi \right] ,R=1 \right\}
[/mm]
In welchem Punkt liegt der Mittelpunkt des Kreises?
Ich bitte um Hilfe.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> mein Rechenweg für c.:
>
> [mm]\left\{ z \in \IC :\left| z \right|= 1, R=1 \right\}[/mm]
>
> [mm]=\left\{ z = re^(iphi): r= R=1, phi \in \left[ 0,2pi \right] \right\}[/mm]
>
> f(z)=(1/2) (z+(1/z))
>
> f(e^(iphi))=(1/2) ((e^(iphi))+1/(e^(iphi))
>
> [mm]\left\{ w \in \IC :w= (1/2)((e^(iphi)+1/(e^(iphi)),phi \in \left[ 0,2pi \right] ,R=1 \right\}[/mm]
>
Das ist ja fürchterlich !
Sei C:=[mm]\left\{ z \in \IC :\left| z \right|= 1 \right\}[/mm]
Ist z [mm] \in [/mm] C, so gibt es ein t [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] z=e^{it}
[/mm]
Dann ist [mm] f(z)=\bruch{1}{2}(e^{it}+e^{-it})=cos(t) \in [/mm] [-1,1]
Also ist f(C) [mm] \subseteq [/mm] [-1,1]
Zeige nun Du:
f(C) = [-1,1]
FRED
>
> In welchem Punkt liegt der Mittelpunkt des Kreises?
>
> Ich bitte um Hilfe.
>
> Gruß
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Hallo,
muss man nicht [mm] \varphi [/mm] anstatt t benutzen???
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> muss man nicht [mm]\varphi[/mm] anstatt t benutzen???
Du musst nicth, Du kannst. Du kannst aber auch statt t otto schreiben.
FRED
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Di 14.05.2013 | | Autor: | Student18 |
Sorry meine kann man nicht....
Gruß
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Hallo,
was soll ich genau in f einsetzen???Soll ich für t -1und 1 einsetzen.Ich soll C einsetzen aber wie ???
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 16.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
Ich würde gern wissen, ob es im Ursprung zentrierte Fixkreise gibt.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 16.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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