komplexe Analysis < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Max1603 |
| Aufgabe | Hallo alles zusammen !!!
kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie ich [mm] $(cos(z))^n$ [/mm] und
[mm] $(sin(z))^n$ [/mm] als Linearkombination der Funktionen cos(kz) und sin(kz) darstellen kann???
Wobei k=0,1,2,....n naja n ist eine natürliche Zahl und z eine komplexe
|
Ich wollte die Aufgabe erst folgendermaßen lösen.
wir wissen ja wie sin(z) und cos(z) nach Eurer aussehen.
Die Potenz n ist ja außen, also habe ich mir gedacht, dass ich dies
mit der binomischen Reihe darstellen kann. so habe ich auch die Möglichkeit k in das Argument von cos und sin reinzubekommen. Aber naja das klappt irgendwie nicht. vielleicht bin ich schon zu müde.
Falls jemand von euch Tipps hat wie ich dies lösen kann, wäre ich
sehr dankbar 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 05.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Ich glaube du hast recht
[mm] (cos(z))^n =(\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2})^n [/mm] =
mit dem Binomischen Lehrsatz auf zwei Arten entwickeln
[mm]\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{ikz}*e^{-i(n-k)z} = \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{i(2k-n)z}[/mm] (1)
aber auch
[mm]\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{i(n-k)z}*e^{-ikz} = \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*e^{-i(2k-n)z} [/mm] (2)
arithm Mittel
[mm] (cos(z))^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n}}\bruch{(1)+(2)}{2} [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{2^{n}}\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}*cos((n-2k)z)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 So 06.05.2007 | | Autor: | Max1603 |
Danke wauwau für den Lösungsvorschlag, sieht echt gut aus
ich möchte aber dennoch was anmerken
ganz unten rechts, im Argument von cos, müsste anstatt
n - 2k
2k - n stehen
ich glaube aber es ist auch egal, man kommt bestimmt auf das gleiche.
aber Formal müsste es genau umgekehrt sein
naja ok danke nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mo 07.05.2007 | | Autor: | wauwau |
cos(-x)=cox(x)!!!!
|
|
|
|
