komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 10.11.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktionen auf komplexe Differenzierbarkeit:
[mm] f(z):=e^{z\overline{z}}+z\cos{z} [/mm] |
Hallo zusammen,
frage mich gerade, wie man diese Frage klären kann. Auf der einen Seite ist [mm] \overline{z} [/mm] nirgends in mathbb{C} komplex differenzierbar, aber ich glaube nicht, dass ich es mir so leicht machen kann. Vielleicht hat ja jemand eine Idee für mich. (den zweiten Summanden würde ich als völlig unproblematisch ansehen).
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 11.11.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Robert,
die C-R-DGL. soll ich zur Lösung leider nicht verwenden.
Viele Grüße und vielen Dank für den Hinweis
Gregor
> Hast du schon die
> ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
> ausprobiert?
>
> Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Di 11.11.2008 | | Autor: | Merle23 |
Damit kannste aber erstmal feststellen was du überhaupt zu zeigen hast, also ob sie diffbar ist oder nicht.
Wenn sie es nämlich nicht ist, dann kannste einfach an den "bösen" Punkt mit dem Differenzenquotienten ran.
Wenn sie es ist... keine Ahnung, lass dir was einfallen ^^
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:28 Mi 12.11.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo zusammen,
wenn ich also den Real- und Imaginärteil von [mm] exp(z\overline{z}) [/mm] betrachte, habe ich
[mm] u=exp(x^2+y^2) [/mm] als Realteil, denn [mm] z\overline{z} [/mm] ist reell, damit ist auch [mm] exp(z\overline{z}) [/mm] reell.
Der Imaginärteil ist dann gleich der Nullabbildung.
Abgeleitet ergeben sich die C.-R.-DGL:
[mm] e^{(x^2+y^2)}\cdot [/mm] 2x =0 und
[mm] e^{(x^2+y^2)}\cdot [/mm] 2y =0 , also
x=y.
Habe ich das soweit richtig verstanden?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 20.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Du hast recht, der zweite Summand ist völlig unproblematisch. Definieren wir für [mm]z \in \mathbb{C}[/mm] die Funktionen [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] durch
[mm]p(z) = \operatorname{e}^{z \bar{z}} \, , \ \ q(z) = z \cos z[/mm]
dann ist [mm]q[/mm] nach bekannten Regeln überall differenzierbar. Die Differenzierbarkeit von
[mm]f = p + q[/mm]
wird daher allein durch die Differenzierbarkeit von [mm]p[/mm] bestimmt:
[mm]f \ \text{an der Stelle} \ z \ \text{differenzierbar} \ \ \Leftrightarrow \ \ p \ \text{an der Stelle} \ z \ \text{differenzierbar}[/mm]
Das folgt einfach aus der Summenregel der Differenzierbarkeit (für [mm]\Rightarrow[/mm] betrachte [mm]p = f - q[/mm]).
Damit reduziert sich die Aufgabe darauf, die Differenzierbarkeit von [mm]p[/mm] zu untersuchen.
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