komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Linn |
| Aufgabe | | Es sei f(z) = [mm] z^{5}/|z|^{-4} [/mm] und f(0) = 0. Zeigen Sie, dass f in z = 0 die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen erfüllt, dass aber f in z = 0 nicht komplex differenzierbar ist. |
Hallo!
Den ersten Teil, mit den CR-Differentialgleichungen hab ich schon gemacht und verstanden. Ich weiß jetzt nicht, wie ich zeigen soll, dass f in z=0 nicht diffbar ist.
Ich habe schon berechnet:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(z+h)-f(z)}{h}=1
[/mm]
aber das würde doch bedeuten, dass es diffbar ist.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Linn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f(z) = [mm]z^{5}/|z|^{-4}[/mm] und f(0) = 0. Zeigen Sie, dass
> f in z = 0 die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen
> erfüllt, dass aber f in z = 0 nicht komplex differenzierbar
> ist.
> Hallo!
> Den ersten Teil, mit den CR-Differentialgleichungen hab
> ich schon gemacht und verstanden. Ich weiß jetzt nicht, wie
> ich zeigen soll, dass f in z=0 nicht diffbar ist.
> Ich habe schon berechnet:
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(z+h)-f(z)}{h}=1[/mm]
Für z = 0 kann das nicht sein !!!! Zeig mal Deine Rechnung.
Für h [mm] \in \IC [/mm] und h [mm] \not= [/mm] 0 ist (nachrechnen !!)
[mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{h^2}{\overline{h}^2}
[/mm]
Sei $t [mm] \in \IR$ [/mm] und t>0.
Setze h:= t. Dann ist
$ [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] = 1.$
Setzt man andererseits $h = (1+i)t$, so ist
[mm] $\bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] = -1$
FRED
> aber das
> würde doch bedeuten, dass es diffbar ist.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
> Linn
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Linn |
Meine Rechnung:
[mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{h^{5}*|h|^{-4}}{h} [/mm] = [mm] \bruch{h^{5}}{h^{5}} [/mm] =1
wie kommst du da auf [mm] \bruch{h^{2}}{h{quer}^{2}}
[/mm]
und h definierst du dann damit du zwei verschiedene Grenzwerte bekommst? Gibts da irgendeinen Trick, wie das am besten zu wählen ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Meine Rechnung:
> [mm]\bruch{f(h)-f(0)}{h}[/mm] = [mm]\bruch{h^{5}*|h|^{-4}}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{h^{5}}{h^{5}}[/mm] =1
Im allgemeinen ist doch $ h [mm] \not= [/mm] |h|$ !!!!
> wie kommst du da auf [mm]\bruch{h^{2}}{h{quer}^{2}}[/mm]
Es ist [mm] |h|^2 [/mm] = [mm] h\overline{h}, [/mm] also [mm] |h|^4 [/mm] = [mm] h^2 \overline{h}^2
[/mm]
> und h definierst du dann damit du zwei verschiedene
> Grenzwerte bekommst?
Genau
Gibts da irgendeinen Trick, wie das am
> besten zu wählen ist?
Ausprobieren, Erfahrung, ......
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Linn |
bei h=(1+i)t komme ich nicht auf -1
[mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{((1+i)t)^{5}*|((1+i)t)|^{-4}}{(1+i)t}
[/mm]
= [mm] \bruch{((1+i)t)^{5}}{(1+i)t*|((1+i)t)|^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{((1+i)t)^{4}}{|((1+i)t)|^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(1+i)t}{|(1+i)t|}
[/mm]
= ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> bei h=(1+i)t komme ich nicht auf -1
> [mm]\bruch{f(h)-f(0)}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{((1+i)t)^{5}*|((1+i)t)|^{-4}}{(1+i)t}[/mm]
> = [mm]\bruch{((1+i)t)^{5}}{(1+i)t*|((1+i)t)|^{4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{((1+i)t)^{4}}{|((1+i)t)|^{4}}[/mm]
> [mm]=\bruch{(1+i)t}{|(1+i)t|}[/mm]
Das letzte "=" stimmt nicht ! I. allg. ist [mm] \bruch{a^4}{|a|^4} \not= \bruch{a}{|a|} [/mm] (z.B. für a = i oder a = 1+i, .....)
FRED
> = ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Linn |
oh, natürlich.
Ich habs anders weitergerechnet und komme auf -2. Wo ist jetzt der Fehler?
[mm] \bruch{(t+it)^{4}}{|(t+it)|^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(t+it)^{4}}{(|(t+it)|^{2})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(t+it)^{4}}{2t^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(t^{2}+2it^{2}-t^{2})^{2}}{2t^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{4i^{2}t^{4}}{2t^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-4}{2}
[/mm]
= -2
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $|t+it|^2 [/mm] = [mm] 2t^2$,
[/mm]
also [mm] $|t+it|^4 [/mm] = [mm] 4t^4$,
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Linn |
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Bitte
|
|
|
|
