komplexe Ebene und Mengen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche Punkte der komplexen Ebene werden durch die folgenden mengen beschrieben? (Fertige jeweils eine skizze an)
i) [mm] M_1= {z\in\IC :2<|z-i| <4}
[/mm]
[mm] ii)M_2= {z\in\IC :|z-i|=|z+i|}
[/mm]
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bei dieser aufgabe habe ich nun absolut gar keine idee, was ich machen soll.
Könnt ihr mir da helfen? Und das mit der Skizze verstehe ich schonmal gar nicht..wie soll ich sowas zeichnen??
Grüße
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Welche Punkte der komplexen Ebene werden durch die
> folgenden mengen beschrieben? (Fertige jeweils eine skizze
> an)
>
> i) [mm]M_1= {z\in\IC :2<|z-i| <4}[/mm]
> [mm]ii)M_2= {z\in\IC :|z-i|=|z+i|}[/mm]
>
> bei dieser aufgabe habe ich nun absolut gar keine idee, was
> ich machen soll.
> Könnt ihr mir da helfen? Und das mit der Skizze verstehe
> ich schonmal gar nicht..wie soll ich sowas zeichnen??
Mache dir klar, was der Betrag geometrisch bedeutet:
[mm] $|z-z_0|=w$ [/mm] erfüllen all jene [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von [mm] $z_0$ [/mm] einen Abstand von w haben.
Entsprechend [mm] $|z-z_0|w$ [/mm] entsprechend was?
Die Bedingung in der zweiten Aufgabe, also $|z-i|=|z+i|$ bzw. [mm] $|z-\red{i}|=|z-\red{(-i)}|$ [/mm] erfüllen entsprechend alle [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von $i$ und $-i$ denselben Abstand haben, also ...
Die Punktmengen, die beschrieben werden, kannst du auch explizit ausrechnen, setze dazu $z=x+iy$ ein und rechne die Bedingungen in den Mengendefinitionen aus ...
>
> Grüße
> Mathegirl
LG
schachuzipus
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Ich verstehe es trotzdem überhaupt nicht. danke für die Erklärungen, aber ich schaffe es einfach nicht, mich da hinein zu finden...
Und ich verstehe es auch überhaupt nicht. egal wie sehr ich in Büchern, Definitionen und sowas stöbere...
Grüße
Mathegirl
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> Ich verstehe es trotzdem überhaupt nicht. danke für die
> Erklärungen, aber ich schaffe es einfach nicht, mich da
> hinein zu finden...
>
> Und ich verstehe es auch überhaupt nicht. egal wie sehr
> ich in Büchern, Definitionen und sowas stöbere...
Hallo,
Du postest dies als Frage.
Aber es ist keine Frage. Es ist eigentlich eine Mitteilung und bietet keinerlei Ansatzpunkt dafür, wie man Dir weiter helfen kann und soll.
schachuzipus hat Dir in seinem Post doch sogar zwei mögliche Vorgehensweisen genannt.
Ich geh mal davon aus, daß Du im Moment von der geometrischen Vorstellung Abstand nehmen möchtest.
Aber, da man jede komplexe Zahl z schreiben kann als x+iy mit x,y [mm] \in \IR, [/mm] schrieb er auch
> Die Punktmengen, die beschrieben werden, kannst du auch explizit ausrechnen,
> setze dazu $ z=x+iy $ ein und rechne die Bedingungen in den Mengendefinitionen aus ...
Wie hast Du denn das umgesetzt?
z durch x+iy zu ersetzen, ist ja nicht so schwierig, dann mußt Du natürlich noch wissen, wie man den Betrag einer komplexen Zahl berechnet.
Hier hilft, falls Du es nicht auswendig weißt, ein Blick ins Buch oder eine kl. Suche im Internet - wo wir ja sowieso an der Strippe hängen.
Gruß v. Angela
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Den betrag einer komplexen zahl berechnet man doch folgendermaßen:
|z|= [mm] (x^2+y^2)^\bruch{^1}{2}
[/mm]
wie gesagt, Definitionen beherrsche ich, aber die Umsetzung eben nicht. Und an Vorstellungsvermögem fehlt es mir!!
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Hallo nochmal,
> Den betrag einer komplexen zahl berechnet man doch
> folgendermaßen:
>
> |z|= [mm](x^2+y^2)^\bruch{^1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie gesagt, Definitionen beherrsche ich, aber die
> Umsetzung eben nicht.
Was soll das heißen?
Setze doch einfach ein, es ist alles gesagt:
Ich mach's exemplarisch für die eine Ungleichung aus (i), nämlich für $|z-i|<4$
Mit $z=x+iy$ ist das: $|(x+iy)-i|<4$
[mm] $\gdw |x+(y-1)\cdot{}i|<4$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{x^2+(y-1)^2}<4$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x^2+(y-1)^2<16$
[/mm]
Und das ist ne lupenreine Kreis(un)gleichung in der Ebene:
[mm] $K_r(x_m,y_m): (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$
[/mm]
Hier halt wegen "<" das Innere des Kreises, also die Kreisscheibe ohne Rand um welchen Mittelpunkt und mit welchem Radius?
Dann rechne die andere Ungleichung nach, das gibt dann das Äußere eines anderen Kreises, insgesamt dann also ....
> Und an Vorstellungsvermögem fehlt es
> mir!!
>
Da machst du es dir arg einfach, das so zu sagen, ich sehe das Problem nicht, für $z=x+iy$ mal einzusetzen, diesen Tipp hast du ja mehrfach bekommen.
Wenn du in einer weitern Rechnung feststeckst oder das Ergebnis nicht als Punktmenge deuten kannst, ist das was anderes, aber einen Anfang mit Einsetzen solltest du unbedingt hinbekommen
LG
schachuzipus
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Ich kriege es wirklich nicht hin!!
wie soll ich einen Bruch [mm] \bruch{4+7i}{5} [/mm] in die Formel einsetzen??
x=4, y=7i und was ist mit der 5als Nenner??
[mm] \wurzel{4^2+(7i)^2}
[/mm]
Da bin ich aber genau wieder am Anfang, weil sich die Wurzel mit den ^2 auflöst.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 So 01.11.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
wenn ich von zwei Zahlen ihren ABSTAND wissen möchte, bilde ich ihre Differenz:
Die reellen Zahlen 5 und -2 haben den Abstand 7, denn 5 - (-2)=7
Aber Moment: ich könte ja auch als Differenz (-2) - 5 nehmen, und das ist -7 ?!?!
Ich muss also meine Abstandsdefinition konkretisieren:
Der Abstand zweier reeller Zahlen ist der BETRAG ihrer Differenz.
Das gilt auch für komplexe Zahlen.
Laut deiner Ungleichung liegt |z-i| zwischen 2 und 4.
Das heißt:
Der Abstand der gesuchten komplexen Zahlen z zur komplexen Zahl i liegt zwischen 2 und 4.
Betrachten wir nur die Grenzfälle dieses Abstands.
Alle Punkte, die zu irgendeiner komplexen Zahl den Abstand 2 haben, liegen auf einem Kreis mit dem Radius 2 um diese Zahl herum.
(Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte, die zu einem vorgegebenen Punkt den gleichen Abstand haben).
Jede komplexe Zahl (auch i) lässt sich ja als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. Alle Punkte, die von i mindestens den Abstand 2 haben, liegen also auf dem Kreis oder aupßerhalb des Kreises um i mit dem Radius 2.
Andererseits darf der Abstand nicht größer als 4 sein. Das Gebiet der gesuchten Zahlen wird also nach außen durch einen Kreis um i mit dem Radius 4 begrenzt.
Das gesuchte Gebiet ist also ein Kreisring mit dem Mittelpunkt i, dem Innenradius 2 und dem Außenradius 4.
Gruß Abakus
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> Ich kriege es wirklich nicht hin!!
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> wie soll ich einen Bruch [mm]\bruch{4+7i}{5}[/mm] in die Formel
> einsetzen??
>
> x=4, y=7i und was ist mit der 5als Nenner??
Mein lieber Herr Gesangverein...
Ein ganz klein bißchen Bruchrechnung ergibt [mm] \bruch{4+7i}{5}=\bruch{4}{5}+\bruch{7}{5}i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Fincayra |
Huhu
Ich habe nochmal ein paar Fragen zu der komplexen Zahlenebene.
Erst einmal zu der zweiten Aufgabe.
> Mache dir klar, was der Betrag geometrisch bedeutet:
>
> Die Bedingung in der zweiten Aufgabe, also [mm]|z-i|=|z+i|[/mm] bzw.
> [mm]|z-\red{i}|=|z-\red{(-i)}|[/mm] erfüllen entsprechend alle
> [mm]z\in\IC[/mm], die von [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm] denselben Abstand haben, also
> ...
Die Erklärung ist klasse einleuchtend, aber bei einer Rechnung
> > also meine rechnung:
> > |z-i|=|z+i|
> > |a+bi-i|=|a+bi+i|
> > |a+(b-1)i|=|a+(b+1)i|
> > Wurzel[a²+(b-1)²]=Wurzel[a²+(b+1)²]
> > a²+b²-2b-1=a²+b²+2b+1
>
> Hier ist Dein Fehler: es muß lauten:
>
> a²+b²-2b+1=a²+b²+2b+1> Hallo Mathegirl,
Wenn ich hier jetzt also noch [mm] -a^2 [/mm] und [mm] -b^2 [/mm] und -1 rechne und durch 2 teile, dann steht da -b=b. Aber warum und wie sagt mir das, dass das alle Punkte auf der reellen Achse sind?
Und ncoh ganz allgemein. Du hast geschrieben:
> Die Punktmengen, die beschrieben werden, kannst du auch
> explizit ausrechnen, setze dazu [mm]z=x+iy[/mm] ein und rechne die
> Bedingungen in den Mengendefinitionen aus ...
Was setzte ich ein, was kommt raus und wie trage ich das dann ab?
Also, stünde da [mm] M_x [/mm] := {x [mm] \in \IN [/mm] : 2 < x < 4}. Dann weiß ich einfach, dass es 3 ist. Was allerdings auch nur eine Zahl wäre, die ich nicht in ein Koordinatensystem schreiben kann, oder?
Ich glaube, ich scheitere am Vorstellen und/oder mache einen ganz blöden Fehler *rot wird*
LG
Fin
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> Huhu
>
> Ich habe nochmal ein paar Fragen zu der komplexen
> Zahlenebene.
Hallo,
jedes [mm] z\in \IC [/mm] kannst Du schreiben als z=x+yi mit [mm] x,y\in \IR, [/mm] und Du kannst diese Zahl z in der Zahlenebene darstellen durch den Punkt (x,y).
>
> Erst einmal zu der zweiten Aufgabe.
>
> > Mache dir klar, was der Betrag geometrisch bedeutet:
> >
> > Die Bedingung in der zweiten Aufgabe, also [mm]|z-i|=|z+i|[/mm] bzw.
> > [mm]|z-\red{i}|=|z-\red{(-i)}|[/mm] erfüllen entsprechend alle
> > [mm]z\in\IC[/mm], die von [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm] denselben Abstand haben, also
> > ...
>
> Die Erklärung ist klasse einleuchtend, aber bei einer
> Rechnung
>
> > > also meine rechnung:
Gesucht sind alle komplexen Zahlen z mit
> > > |z-i|=|z+i|.
Man kann z schreiben als z=a+bi, wobei a,b beide reell sind.
Es folgt
> > > |a+bi-i|=|a+bi+i|
> > > |a+(b-1)i|=|a+(b+1)i|
> > > Wurzel[a²+(b-1)²]=Wurzel[a²+(b+1)²
> > a²+b²-2b+1=a²+b²+2b+1
>
> Wenn ich hier jetzt also noch [mm]-a^2[/mm] und [mm]-b^2[/mm] und -1 rechne
> und durch 2 teile, dann steht da -b=b. Aber warum und wie
> sagt mir das, dass das alle Punkte auf der reellen Achse
> sind?
-b=b <==> b=0.
Also lösen nur z der Gestalt z=a+0*i=a die Gleichung, und die Punkte (a,0) sind doch die, die auf der x-Achse, der reellen Zahlengeraden, liegen.
LG Angela
>
> Und ncoh ganz allgemein. Du hast geschrieben:
>
> > Die Punktmengen, die beschrieben werden, kannst du auch
> > explizit ausrechnen, setze dazu [mm]z=x+iy[/mm] ein und rechne die
> > Bedingungen in den Mengendefinitionen aus ...
>
> Was setzte ich ein, was kommt raus und wie trage ich das
> dann ab?
> Also, stünde da [mm]M_x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {x [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: 2 < x < 4}. Dann weiß
> ich einfach, dass es 3 ist. Was allerdings auch nur eine
> Zahl wäre, die ich nicht in ein Koordinatensystem
> schreiben kann, oder?
> Ich glaube, ich scheitere am Vorstellen und/oder mache
> einen ganz blöden Fehler *rot wird*
>
> LG
> Fin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Do 15.11.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hallo,
> jedes [mm]z\in \IC[/mm] kannst Du schreiben als z=x+yi mit [mm]x,y\in \IR,[/mm]
> und Du kannst diese Zahl z in der Zahlenebene darstellen
> durch den Punkt (x,y).
DAS löst endlich die Vorstellungsprobleme : )
Und das:
> -b=b <==> b=0.
ist so logisch, dass ich es erfolgreich ignoriert hab. Kennt ihr diese großen AHAAA-Effekte, bei denen man sich in den Popo beißen könnte, weil man nicht selbst/früher drauf gekommen ist? ; )
Danke für die Erleuchtungen : )
LG
Fin
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Hallo Leute!
Kann mir bei der ii) jemand bestätigen, ob die Lösung wie folgt lautet:
b=-0,5 (also b ist bei mir der imaginärteil) also wäre die Lösung eine Gerade bei -0,5. Bin mir irgendwie nicht ganz sicher, finde aber keinen Fehler.
Danke! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute!
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> Kann mir bei der ii) jemand bestätigen, ob die Lösung wie
> folgt lautet:
>
> b=-0,5 (also b ist bei mir der imaginärteil) also wäre
> die Lösung eine Gerade bei -0,5.
Das ist falsch. Die gesuchten Punkte sind gerade die Punkte auf der reelen Achse.
> Bin mir irgendwie nicht
> ganz sicher, finde aber keinen Fehler.
Zeig mal Deine Rechnungen
FRED
>
> Danke! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Andariella |
ja ich dachte mir auch erst, dass es die reale achse sein muss, daher war ich mir auch unsicher mit dem ergebnis. ich habe folgendes gerechnet:
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja ich dachte mir auch erst, dass es die reale achse sein
> muss, daher war ich mir auch unsicher mit dem ergebnis. ich
> habe folgendes gerechnet:
Ja, was denn ?
FRED
>
>
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sorry, ist mein erster beitrag heute, klappt noch nciht so gut :)
also meine rechnung:
|z-i|=|z+i|
|a+bi-i|=|a+bi+i|
|a+(b-1)i|=|a+(b+1)i|
Wurzel[a²+(b-1)²]=Wurzel[a²+(b+1)²]
a²+b²-2b-1=a²+b²+2b+1
-2b-1=2b+1
4b=-2
b=-0,5
bin fehlerblind :)
vielen dank schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> sorry, ist mein erster beitrag heute, klappt noch nciht so
> gut :)
>
> also meine rechnung:
> |z-i|=|z+i|
> |a+bi-i|=|a+bi+i|
> |a+(b-1)i|=|a+(b+1)i|
> Wurzel[a²+(b-1)²]=Wurzel[a²+(b+1)²]
> a²+b²-2b-1=a²+b²+2b+1
Hier ist Dein Fehler: es muß lauten:
a²+b²-2b+1=a²+b²+2b+1
FRED
> -2b-1=2b+1
> 4b=-2
> b=-0,5
>
> bin fehlerblind :)
>
> vielen dank schonmal!
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Andariella |
*schäm* :D
vielen lieben dank! auf die einfachsten teile guckt man nie genau, ich hab andauernd weiter oben nach einem fehler gesucht...
danke danke danke! :)
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