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| Aufgabe | Sei f eine stückweise stetige, [mm]2\pi[/mm] -periodische Funktion und
FR(x) = [mm] \summe_{i=-\infty}^{\infty} c_n * e^{inx}, x \in\IR [/mm]
die dazugehörige Fourierreihe in komplexer Schreibweise. Zeigen Sie, dass ein [mm]M \in\IR_+[/mm] existiert, so dass [mm]|c_n| < M[/mm] für alle [mm]n \in\IN[/mm], d.h. die Fourierkoeffizienten sind beschränkt. |
Ich habe keine Ahnung wie ich das zeigen soll....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt & danke euch für Eure Hilfe.
Grüße,
Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Andy!
Ich kenne mich nicht mit Fourierreihen aus, deswegen Verzeihung falls ich Bloedsinn rede!
> Sei f eine stückweise stetige, [mm]2\pi[/mm] -periodische Funktion
> und
>
> FR(x) = [mm]\summe_{i=-\infty}^{\infty} c_n * e^{inx}, x \in\IR[/mm]
Diese Reihe konvergiert punktweise oder? (Bzw. sogar gegen die Funktion?)
Also konvergiert sie insbesondere fuer $x = 0$. Aber dann ist $FR(0) = [mm] \sum_{n=-\infty}^\infty c_n$. [/mm] Und da diese Reihe konvergiert, muss also [mm] $c_n \to [/mm] 0$ gelten fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] und $n [mm] \to -\infty$. [/mm] Und deswegen muessen die [mm] $c_n$ [/mm] beschraenkt sein!
LG Felix
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Hallo Andy,
ich denke, felix's argumentation ist richtig, allerdings kann man ganz leicht auch eine Schranke für die fourier-koeffizienten angeben, wenn man einfach mal die definition hinschreibt:
[mm] $c_n=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int} [/mm] dt$
durch einfache abschätzungen folgt
[mm] $|c_n|\le \frac1{2\pi}\cdot 2\pi\cdot \max_{0\le t\le 2\pi}|f(t)||e^{-int}|=\max_{0\le t\le 2\pi}|f(t)|$
[/mm]
Gruß
Matthias
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