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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie man sieht, ist eine komplexe Fourierreihe zu entwickeln.
Die Formeln zum Vorgehen sind ja vorgegeben.
Mein Verständnisprobleme beziehen sich auf das Ende der vorletzten Zeile und auch auf die letzte Zeile.
[mm] e^{-i * k * \pi} [/mm] = -1
Das gilt doch aber bloß für k=1. Für k=6 z.B. lautet das Ergebnis -1+2*10^-13*i .
Deshalb meine Frage: Warum kann man [mm] e^{-i * k * \pi} [/mm] durch [mm] (-1)^k [/mm] ersetzen?
Ich verstehe auch nicht, wie sich der allerletzte Term der letzten Zeile zusammensetzt. Wie entsteht der Zähler und Nenner?
Das ist meine erste Fouriertransformation im komplexen. Bitte deshalb um einfache und ausführlichere Erläuterungen.
Wäre für jede Hilfe dankbar.
Grüße,
Maik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Maiko!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Wie man sieht, ist eine komplexe Fourierreihe zu
> entwickeln.
> Die Formeln zum Vorgehen sind ja vorgegeben.
>
> Mein Verständnisprobleme beziehen sich auf das Ende der
> vorletzten Zeile und auch auf die letzte Zeile.
>
> [mm]e^{-i * k * \pi}[/mm] = -1
> Das gilt doch aber bloß für k=1.
Nicht ganz, es müßte eigentlich für alle ungeraden k gelten.
> Für k=6 z.B. lautet das
> Ergebnis -1+2*10^-13*i .
Hier hätte ich +1 erwartet...
> Deshalb meine Frage: Warum kann man [mm]e^{-i * k * \pi}[/mm] durch
> [mm](-1)^k[/mm] ersetzen?
Das ist ja nicht das, was dort gemacht wurde, allerdings ist auch die Beschriftung unter den geschweiften Klammern irreführend bzw. falsch.
Es geht also um diese Umformung:
[mm] $e^{2\pi}*\underbrace{e^{-i*k*\pi}}_{=(-1)^{\red{k}}}-e^{-2\pi}*\underbrace{e^{i*k*\pi}}_{=(-1)^{\red{k}}}$, [/mm] denn [mm] $e^{-i*k*\pi}=\left(\underbrace{e^{i*\pi}}_{=-1}\right)^{-k}=(-1)^{-k}=(-1)^k$, [/mm] ebenso für [mm] $e^{i*k*\pi}=\left( e^{i\pi} \right)^k=(-1)^k$
[/mm]
[mm] $=e^{2\pi}*(-1)^k-e^{-2\pi}*(-1)^k$
[/mm]
[mm] $=(-1)^k*\left( e^{2\pi}-e^{-2\pi}\right)$
[/mm]
> Ich verstehe auch nicht, wie sich der allerletzte Term der
> letzten Zeile zusammensetzt. Wie entsteht der Zähler und
> Nenner?
Dort hat man versucht, den Nenner reell zu machen, indem man den Bruch mit dem komplex-konjugierten Wert erweitert hat (also mit 2+ik); probier's mal.
> Das ist meine erste Fouriertransformation im komplexen.
Meine auch, aber deine Fragen bezogen sich ja zum Glück nicht auf ihre Theorie 
Falls etwas unklar geblieben ist, einfach nachfragen 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 28.05.2005 | | Autor: | migo256 |
Warum kann man [mm] e^{-i*k* \pi}=(-1)^k [/mm] setzen?
Du kennst doch die Eulersche Forme:
e^-i*FI*k=cos(FI*k)-i*sin(FI*k)
Für FI setze [mm] \pi [/mm] dadurch fällt der imaginäre Anteil weg. Und aus cos(k*pi) wird dein [mm] (-1)^k. [/mm] Das kannst du gerne nachprüfen wenn du dir die cos funktion einmal aufzeichnest.
jetzt bitte ich noch um verständnis da ich das erste mal diesen formeleditor benutze....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 So 29.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Ich bedanke mich für eure beiden Antworten. Konnte sie nachvollziehen.
Hätte nur noch eine kleine Frage zum letzten Term auf in der letzten Zeile.
Marc schrieb, dass dort der Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert wurde, damit der Nenner reell wird.
Das verstehe ich.
Was ist aber der Sinn an dieser Umformung? Warum macht man das? Schließlich wird ja der Zähler dann komplex.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 So 29.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Maiko,
> Ich bedanke mich für eure beiden Antworten. Konnte sie
> nachvollziehen.
Schön
> Hätte nur noch eine kleine Frage zum letzten Term auf in
> der letzten Zeile.
> Marc schrieb, dass dort der Bruch mit der konjugiert
> komplexen Zahl erweitert wurde, damit der Nenner reell
> wird.
> Das verstehe ich.
>
> Was ist aber der Sinn an dieser Umformung? Warum macht man
> das? Schließlich wird ja der Zähler dann komplex.
Das stimmt, es ist streng genommen eine Schönheitsoperation, aber es hat auch einen Sinn:
Die Division einer komplexen Zahl [mm] $z_1$ [/mm] durch eine zweite komplexe Zahl [mm] $z_2$ [/mm] ist ziemlich aufwendig, im Vergleich zur Division der komplexen Zahl [mm] $z_1*\overline{z_2}$ [/mm] durch die reelle Zahl [mm] $z_2*\overline{z_2}$. [/mm] Beim letzteren muss ja nur der Real- und Imaginärteil durch die reelle Zahl dividiert werden.
Das ist vergleichbar zum Rationalmachen von Bruchtermen: Was ist [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$? [/mm] Aha, [mm] $\bruch{\wurzel{2}}{2}$, [/mm] also die Hälfte von Wurzel 2.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 So 29.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Ok, alle Unklarheiten beseitigt. Danke!
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