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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - komplexe Gleichung
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komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Sa 05.11.2011
Autor: Chris161

Aufgabe
[mm] (z-i)^3= [/mm] -i

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen

Ich möchte also das [mm] (z-i)^3 [/mm] ausrechnen um später Real und Imaginärteil gesondert betrachten zu können
also folgt

[mm] (z-i)^3= [/mm] -i

=> [mm] ((a+bi)-(0a+1i))^3 [/mm] = -i

also

[mm] (a+(b-1)i)^3 [/mm] = -i

das müsste doch wiederum

(a+(b-1)i)*(a+(b-1)i)*(a+(b-1)i)= -i

=>   [mm] (a^2- (b-1)^2 [/mm]   +2abi-2ai)*(a+(b-1)i)

also [mm] (a^2- b^2-2b+1 [/mm]  +2abi-2ai)*(a+(b-1)i)
sein

aber irgendwie hab ich das gefühl das ich etwas falsch gemacht habe bzw. ich weiß nicht wie ich jetzt die linke Seite vereinfachen kann damit ich sie wieder mit der rechten Seite multiplizieren kann...

Ich hofffe was ich geschrieben habe ist einigermaßen nachvollziehbar...

Danke im Voraus für jede Antwort



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Sa 05.11.2011
Autor: reverend

Hallo Chris161, [willkommenmr]

> [mm](z-i)^3=[/mm] -i
>  
> Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen
>  Ich möchte also das [mm](z-i)^3[/mm] ausrechnen um später Real
> und Imaginärteil gesondert betrachten zu können
>  also folgt
>  
> [mm](z-i)^3=[/mm] -i
>  
> => [mm]((a+bi)-(0a+1i))^3[/mm] = -i
>  
> also
>  
> [mm](a+(b-1)i)^3[/mm] = -i
>  
> das müsste doch wiederum
>  
> (a+(b-1)i)*(a+(b-1)i)*(a+(b-1)i)= -i
>  
> =>   [mm](a^2- (b-1)^2[/mm]   +2abi-2ai)*(a+(b-1)i)

Bis hierhin ist alles gut. Du kennst aber hoffentlich auch die binomische Formel beliebigen bzw. hier nur 3. Grades: [mm] (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 [/mm]

> also [mm](a^2- b^2-2b+1[/mm]  +2abi-2ai)*(a+(b-1)i)
>  sein

Da stimmen zwei Vorzeichen nicht: [mm] a^2-b^2+2b-1\cdots [/mm]
Beachte das Distributivgesetz beim Auflösen der Klammer [mm] (b-1)^2. [/mm] Das "Minus" davor entspricht ja einer Multiplikation mit (-1).

> aber irgendwie hab ich das gefühl das ich etwas falsch
> gemacht habe bzw. ich weiß nicht wie ich jetzt die linke
> Seite vereinfachen kann damit ich sie wieder mit der
> rechten Seite multiplizieren kann...

Das wird auch schwierig. Du bekommst ja Gleichungen dritten Grades, die kaum aufzulösen sind, wenn man nicht die mühsamen []Cardanischen Formeln heranziehen will.

Viel einfacher geht es mit der MBMoivre-Formel.

> Ich hofffe was ich geschrieben habe ist einigermaßen
> nachvollziehbar...
>  
> Danke im Voraus für jede Antwort

(endlich mal eine/r, der/die "im Voraus" korrekt schreibt! Lob, Lob.)

Grüße
reverend

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Bezug
komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Sa 05.11.2011
Autor: Chris161

Ok danke...

aber mein Problem ist, dass ich die besagte Moivre Formel noch nicht hatte.
Da ich im ersten Semester MaBau und damit in der 3. Woche HM1 bin, bin ich geneigt zu glauben, dass es doch auch noch eine einfachere Möglichkeit geben muss diese Gleichung zu lösen.
Vor allem da die Teilaufgaben vor und nach dieser auch ohne einen solch extrem komplexen lösungsweg ausgekommen sind...
Bezug
                        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Sa 05.11.2011
Autor: leduart

Hallo
Habt ihr besprochen, wie man graphisch multipliziert? winkel asddieren beträge multiplizieren? oder die Formel [mm] r(cos\phi+isin\phi) [/mm] oder wenigstens die z in der Gaussschen Zahlenebene eingetragen? Dann gibts einfachere Wege.
Gruss leduart

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Bezug
komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Sa 05.11.2011
Autor: Chris161

also ich habe jetzt einen anderen Ansatz probiert
Ich habe die Gleichung in ihrer Grundform durchgerechnet
Polynomdivision durchgeführt und das Polynom 2ter Ordnung mit der Mitternachtsformel pq- Formel gelöst
Das müsste theoretisch ja auch passen oder?

Bezug
                                        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Chris161,

> also ich habe jetzt einen anderen Ansatz probiert
>  Ich habe die Gleichung in ihrer Grundform durchgerechnet
>  Polynomdivision durchgeführt und das Polynom 2ter Ordnung
> mit der Mitternachtsformel pq- Formel gelöst
>  Das müsste theoretisch ja auch passen oder?
>  


Ja.

Stelle Deine so erhaltenen Lösungen doch mal vor.


Gruss
MathePower
Bezug
                                                
Bezug
komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Sa 05.11.2011
Autor: Chris161

Meine Lösung wäre:


L= { [mm] -\wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] ; [mm] \wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm]  - [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] ; 2i  }
Bezug
                                                        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Chris161,

> Meine Lösung wäre:
>  
>
> L= { [mm]-\wurzel{\bruch{3}{4}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}i[/mm] ;
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{4}}[/mm]  - [mm]\bruch{1}{2}i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

; 2i  }


Die ersten beiden Lösung stimmen nicht ganz.
Hier muss der Imaginärteil dieser Lösungen positiv sein.


Gruss
MathePower
Bezug
        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Sa 05.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm](z-i)^3=[/mm] -i
>  
> Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen
>  Ich möchte also das [mm](z-i)^3[/mm] ausrechnen um später Real
> und Imaginärteil gesondert betrachten zu können
>  also folgt
>  
> [mm](z-i)^3=[/mm] -i
>  
> => [mm]((a+bi)-(0a+1i))^3[/mm] = -i



Hallo Chris161,

bei dieser Aufgabe machst du dir das Leben ganz unnö-
tigerweise schwer, wenn du  [mm] (z-i)^3 [/mm]  ausmultiplizierst !!

Setze doch vorläufig einfach einmal  w:=z-i ,
löse dann die Gleichung [mm] w^3=-i [/mm] nach w auf (3 Lösungen)
und addiere dann zu jeder Lösung [mm] w_i [/mm] den Wert i, um den
zugehörigen Wert [mm] z_i [/mm] zu erhalten !

LG     Al-Chw.
Bezug
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