komplexe Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Di 19.01.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Löse z [mm] \in \IC
[/mm]
[mm] z^2-2iz=4-4i [/mm] |
Hallo zusammen,
hab jetzt mal eine andere aufgabe angefangen und weiß nich ganz weiter:
[mm] z^2-2iz=4-4i
[/mm]
[mm] (z-i)^2=3-4i
[/mm]
[mm] |z-i|^2= \wurzel{|3-4i|}
[/mm]
[mm] |z-i|=\wurzel{5}
[/mm]
[mm] \wurzel{5}*(cos(\bruch{1}{2}*Arg(3-4i)+2k\pi)+isin(\bruch{1}{2}*Arg(3-4i)+2k\pi))
[/mm]
k [mm] \in [/mm] {0,1}
ist das bis hierhin richtig? aber wie würde ich weitermachen?
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> Löse z [mm]\in \IC[/mm]
>
> [mm]z^2-2iz=4-4i[/mm]
> Hallo zusammen,
Hi!
> hab jetzt mal eine andere aufgabe angefangen und weiß
> nich ganz weiter:
>
>
> [mm]z^2-2iz=4-4i[/mm]
> [mm](z-i)^2=3-4i[/mm]
>
> [mm]|z-i|^2= \wurzel{|3-4i|}[/mm]
Was hast du hier gemacht? Einfach wild Betragsstriche gesetzt, rechts die Wurzel gezogen, links nicht. Ziehe mal auf beiden Seiten die Wurzel. Hier Betragsstriche zu setzen, ist gefährlich, da der Betrag im Reellen nicht identisch zu der Benutzung des Betrages im Komplexen ist. Im Rellen ist Betrag zwar wie im Komplexen der Abstand zum Ursprung, aber er berechnet sich anders.
Mache eine Fallunterscheidung gemäß der möglichen Lösungen nach dem Wurzelziehen.
> [mm]|z-i|=\wurzel{5}[/mm]
>
Dies ist eine nicht-wahre Gleichung! Hier müsste man jetzt $z-1$ als komplexe Zahl interpretieren, die den Betrag 2 hätte. [mm] $2\not=\sqrt{5}$
[/mm]
> [mm]\wurzel{5}*(cos(\bruch{1}{2}*Arg(3-4i)+2k\pi)+isin(\bruch{1}{2}*Arg(3-4i)+2k\pi))[/mm]
>
> k [mm]\in[/mm] {0,1}
> ist das bis hierhin richtig? aber wie würde ich
> weitermachen?
Ich weiß nicht, wie du am Ende den Cos und Sin ins Spiel gebracht hast, aber das hat nichts mit der Lösung zu tun.
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Di 19.01.2010 | | Autor: | peeetaaa |
naja okay auf der verkürzten lösungsskizze wurde das auch ein bisschen anders gemacht aber da kann ich ein paar schritte nicht ganz nachvollziehen bzw. wäre nicht auf die idee gekommen..
da steht:
[mm] |z-i|^2=5 [/mm] und [mm] Arg(z-i)^2=arctan(\bruch{-4}{3}=: \alpha
[/mm]
z-i= [mm] \wurzel{5}* (cos\bruch{\alpha}{2}+isin\bruch{\alpha}{2}) [/mm] (*)
[mm] z-i=\wurzel{5}* (cos(\bruch{\alpha}{2}+\pi)+isin(\bruch{\alpha}{2}+pi))
[/mm]
was jetzt gemacht wird versteht ich nicht:
mit [mm] \alpha=arcos \bruch{3}{5}=arcsin\bruch{-4}{5} [/mm]
wird
[mm] cos(\bruch{\alpha}{2}=\wurzel{\bruch{1+cos\alpha}{2}}=\bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
und
[mm] sin(\bruch{\alpha}{2}= [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{1+cos\alpha}{2}}=\bruch{-1}{\wurzel{5}}
[/mm]
und deshalb ist (*) äquivalent zu:
z-i= [mm] \wurzel{5}*\bruch{2}{\wurzel{5}}-i\bruch{1}{\wurzel{5}}
[/mm]
und z-i= [mm] -\wurzel{5}*\bruch{2}{\wurzel{5}}-i\bruch{1}{\wurzel{5}}
[/mm]
....
kann man die aufgabe auch anders lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Di 19.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich habe mal die fehlenden Klammern ergänzt (ohne Rücksicht auf den Inhalt) - schau bitte noch einmal, ob du das so haben wolltest
Lg
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Di 19.01.2010 | | Autor: | abakus |
>
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> kann man die aufgabe auch anders lösen?
Ja. Stelle die Gleichung um in die Normalform einer quadratischen Gleichung und wende die p-q-Formel an.
Gruß Abakus
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