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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 So 07.06.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Berechne die Integrale
[mm] \integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{sinz}{cosz} dz} [/mm] und
[mm] \integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{cosz}{sinz} dz} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht, die Integrale mit der Cauchyschen Formel zu berechnen.
a) Der cos hat ja die Nullstellen [mm] \pi/2+ \pi \IZ. [/mm] Aber von diesen Nullstellen liegt ja keine im Einheitskreis... Dann kann ich ja die Formel gar nicht anwenden...
b) Der sin hat die Nullstelle 0 die im Einheitskreis liegt. Aber trotzdem klappt das iwie nicht mit der Formel...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 07.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechne die Integrale
> [mm]\integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{sinz}{cosz} dz}[/mm] und
> [mm]\integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{cosz}{sinz} dz}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe versucht, die Integrale mit der Cauchyschen Formel
> zu berechnen.
>
> a) Der cos hat ja die Nullstellen [mm]\pi/2+ \pi \IZ.[/mm] Aber von
> diesen Nullstellen liegt ja keine im Einheitskreis... Dann
> kann ich ja die Formel gar nicht anwenden...
Aber den Cauchyschen Integralsatz.
>
> b) Der sin hat die Nullstelle 0 die im Einheitskreis liegt.
> Aber trotzdem klappt das iwie nicht mit der Formel...
Tipp: Resduensatz.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 07.06.2015 | | Autor: | rollroll |
Achso, dann wäre ja das erste Integral nach dem CIS für Kreis 0. Weil tan(z) ja holomorph ist auf dem Einheitskreis.
Den Residuensatz haben wir leider noch nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 07.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Achso, dann wäre ja das erste Integral nach dem CIS für
> Kreis 0. Weil tan(z) ja holomorph ist auf dem
> Einheitskreis.
O.K.
>
> Den Residuensatz haben wir leider noch nicht....
Dann machen wir das so: es gibt eine ganze Funktion g mit
sin(z)=zg(z) für alle z und g(0) [mm] \ne [/mm] 0
Setze [mm] f(z):=\bruch{cos(z)}{g(z)}.Dann [/mm] wir über f(z)/z integriert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 09.06.2015 | | Autor: | rollroll |
Hallo Fred, danke für deine Hilfe.
Ich habe das aber noch nicht so ganz verstanden
> Dann machen wir das so: es gibt eine ganze Funktion g mit
>
> sin(z)=zg(z) für alle z und g(0) [mm]\ne[/mm] 0
Woher weiß man dass es eine solche Funktion gibt?
>
> Setze [mm]f(z):=\bruch{cos(z)}{g(z)}.Dann[/mm] wir über f(z)/z
> integriert.
>
Hier weiß ich nicht genau, wie ich über f(z)/z integrieren soll. Ich habe noch den Hinweis, dass ich benutzen kann, dass sin(z)/z eine holomorphe Fortsetzung auf ganz [mm] \IC [/mm] besitzt.
(das habe ich gezeigt, indem ich die Reihe aufgeschrieben habe und den Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium bestimmt habe (= [mm] \infty).
[/mm]
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, danke für deine Hilfe.
>
> Ich habe das aber noch nicht so ganz verstanden
>
> > Dann machen wir das so: es gibt eine ganze Funktion g mit
> >
> > sin(z)=zg(z) für alle z und g(0) [mm]\ne[/mm] 0
>
> Woher weiß man dass es eine solche Funktion gibt?
> >
> > Setze [mm]f(z):=\bruch{cos(z)}{g(z)}.Dann[/mm] wir über f(z)/z
> > integriert.
> >
> Hier weiß ich nicht genau, wie ich über f(z)/z
> integrieren soll. Ich habe noch den Hinweis, dass ich
> benutzen kann, dass sin(z)/z eine holomorphe Fortsetzung
> auf ganz [mm]\IC[/mm] besitzt.
Na also, dann setze doch
[mm] g(z)=\bruch{sin(z)}{z} [/mm] für z [mm] \ne [/mm] 0 und g(0):=1.
Dann ist g eine ganze Funktion. Mit $ [mm] f(z):=\bruch{cos(z)}{g(z)} [/mm] $ ist dann
[mm] \bruch{cos(z)}{sin(z)}= \bruch{f(z)}{z}
[/mm]
Also: $ [mm] \integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{cosz}{sinz} dz}=\integral_{\partial D_1(0)}{\bruch{f(z)}{z} dz} [/mm] $
Jetzt CIF.
FRED
> (das habe ich gezeigt, indem ich die Reihe aufgeschrieben
> habe und den Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium
> bestimmt habe (= [mm]\infty).[/mm]
>
>
> > FRED
> >
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 09.06.2015 | | Autor: | rollroll |
Dann erhalte ich:
2 [mm] \pi [/mm] i f(0)= 2 [mm] \pi [/mm] i
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dann erhalte ich:
> 2 [mm]\pi[/mm] i f(0)= 2 [mm]\pi[/mm] i
Richtig
FRED
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