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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Fr 01.08.2008 | | Autor: | stevies |
| Aufgabe | Finden Sie alle Nullstellen in C des Polynoms [mm] x^4 [/mm] − [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] − x + 1.
Hinweise: (i) (x + [mm] 1)(x^4 [/mm] − [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] − x + 1) = [mm] x^5 [/mm] + 1.
(ii) Tatsächlich kann man hier die Realteile und Imaginärteile der Nullstellen in hübscher Gestalt (d.h.
mit (+,−, ·,√·) und Zahlen in Q) angeben. Aber es reichen uns Absolutwerte und Argumente der Nullstellen. |
O.k. ich soll also in dieser Aufgabe alle komplexen Nullstellen des Polynoms [mm] x^4 [/mm] − [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] − x + 1 finden.
Das Polynom ist vom Grad 4 --> max. 4 Nullstellen
Und das ist aber auch schon alles was ich über das rausfinden von komplexen Nullstellen in Polynomen weiß. Gibt es da einen bestimmten Masterplan nach dem man da vorgehen kann um komplexe Nullstellen zu berechnen? Bin für jede Antwort dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo stevies,
> Finden Sie alle Nullstellen in C des Polynoms [mm]x^4[/mm] −
> [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] − x + 1.
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> Hinweise: (i) (x + [mm]1)(x^4[/mm] − [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] − x + 1)
> = [mm]x^5[/mm] + 1.
> (ii) Tatsächlich kann man hier die Realteile und
> Imaginärteile der Nullstellen in hübscher Gestalt (d.h.
> mit (+,−, ·,√·) und Zahlen in Q) angeben. Aber
> es reichen uns Absolutwerte und Argumente der Nullstellen.
> O.k. ich soll also in dieser Aufgabe alle komplexen
> Nullstellen des Polynoms [mm]x^4[/mm] − [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] − x +
> 1 finden.
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> Das Polynom ist vom Grad 4 --> max. 4 Nullstellen
>
> Und das ist aber auch schon alles was ich über das
> rausfinden von komplexen Nullstellen in Polynomen weiß.
> Gibt es da einen bestimmten Masterplan nach dem man da
> vorgehen kann um komplexe Nullstellen zu berechnen? Bin für
> jede Antwort dankbar.
Zuerst einmal hat das Polyonm ganzzahlige Koeffizienten.
Von daher kann man als mögliche Nullstellen alle Teiler des Absolutgliedes untersuchen.
Hier kommen als mögliche Nullstellen in Frage: [mm]\pm 1[/mm]
Zweitens Ist das Polynom symmetrisch:
[mm]\blue{1}x^{4}+\left(\green{-1}\right)x^{3}+1*x^{2}+\left(\green{-1}\right)x+\blue{1}[/mm]
Da eine Nullstelle x sicher ungleich 0 ist, kann man durch [mm]x^{2}[/mm] dividieren:
[mm]\blue{1}x^{2}+\left(\green{-1}\right)x+1+\left(\green{-1}\right)\bruch{1}{x}+\blue{1}\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
Jetzt macht man die Substitution [mm]u=x+\bruch{1}{x}[/mm].
Dies führt dann auf ein quadratische Polynom in u,
dessen Lösungen [mm]u_{1}, \ u_{2}[/mm] leicht zu ermitteln sein sollten.
Natürlich muß man jetzt die Substitution rückgängig machen, das heißt die Gleichung
[mm]x+\bruch{1}{x}=u_{k}, \ k=1,2[/mm]
ist zu lösen.
Die Ermittlung dieser Lösungen sollte nun ein leichtes sein.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Fr 01.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie alle Nullstellen in C des Polynoms [mm]x^4[/mm] −
> [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] − x + 1.
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> Hinweise: (i) (x + [mm]1)(x^4[/mm] − [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] − x + 1)
> = [mm]x^5[/mm] + 1.
> (ii) Tatsächlich kann man hier die Realteile und
> Imaginärteile der Nullstellen in hübscher Gestalt (d.h.
> mit (+,−, ·,√·) und Zahlen in Q) angeben. Aber
> es reichen uns Absolutwerte und Argumente der Nullstellen.
> O.k. ich soll also in dieser Aufgabe alle komplexen
> Nullstellen des Polynoms [mm]x^4[/mm] − [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] − x +
> 1 finden.
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> Das Polynom ist vom Grad 4 --> max. 4 Nullstellen
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> Und das ist aber auch schon alles was ich über das
> rausfinden von komplexen Nullstellen in Polynomen weiß.
> Gibt es da einen bestimmten Masterplan nach dem man da
> vorgehen kann um komplexe Nullstellen zu berechnen? Bin für
> jede Antwort dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Hallo,
Wozu wird im Aufgabentext wohl ein Hinweis stehen......?
Aus dem Hinweis folgt
[mm] x^4-x^3+x^2-x+1=\bruch{x^5+1}{x+1}
[/mm]
Dieser Term hat Nullstellen, wenn der Zähler Null ist und der Nenner von 0 verschieden ist.
Löse also [mm] x^5=-1 [/mm] und schließe die Lösung x=-1 aus.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 01.08.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ergänzend zu Abakus möchte ich noch anmerken, das man, wenn man dem Hinweis von Abakus folgt, auf Lösungen der Form
[mm] x=cos(\phi)+i*sin(\phi) [/mm] kommt mit [mm] \phi=\bruch{n}{5}\pi [/mm] und n = 1, 3, 7, 9.
Auf diese Lösungen kommt man über die Beziehung
[mm] sin(5\phi)=0 [/mm] bzw. [mm] cos(5\phi)=-1
[/mm]
Über die Beziehung
[mm] cos(n\phi)+i*sin(n\phi)=(cos(\phi)+i*sin(\phi))^n [/mm] kommt man über die Binomischeformel für n=5 zu dem Ergebnis
[mm] sin(5\phi)=5*sin(\phi)-20*sin(\phi)^3+16*sin(\phi)^5
[/mm]
Aus [mm] sin(5\phi)=0 [/mm] folgt die Gleichung
[mm] 16x^5-20x^3+5x=0 [/mm] mit [mm] x=sin(\phi)
[/mm]
Dies Gleichung kann man lösen und bekommt wie in der Aufgabe angedeutet eine explizite Lösung für [mm] sin(\phi) [/mm] und [mm] cos\phi) [/mm] als algebraischen Ausdruck.
mfg ullim
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