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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Sa 24.11.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Ich hab da eine Potenzreihe bekommen und soll ihren Konvergenzradius bestimmen.
Hab mir folgendes gedacht und wollte hier mal nachfragen, ob es so richtig ist oder ob ich es mir zu leich gemacht habe..:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (3+4i)^{k}(z-i)^{k}
[/mm]
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] (3+4i)^{k}(1-i)^{k}
[/mm]
lim
[mm] k\to\infty \wurzel[k]{|a_{k}|}
[/mm]
lim
[mm] k\to\infty \wurzel[k]{(3+4i)^{k}(1-i)^{k}}
[/mm]
lim
[mm] k\to\infty [/mm] (3+4i)(1-i)
lim
[mm] k\to\infty (3-i+4i-4i^2)
[/mm]
Kann das so stimmen?
LG zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 24.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Ich hab da eine Potenzreihe bekommen und soll ihren
> Konvergenzradius bestimmen.
> Hab mir folgendes gedacht und wollte hier mal nachfragen,
> ob es so richtig ist oder ob ich es mir zu leich gemacht
> habe..:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (3+4i)^{k}(z-i)^{k}[/mm]
>
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm](3+4i)^{k}(1-i)^{k}[/mm]
>
> lim
> [mm]k\to\infty \wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm]
>
>
> lim
> [mm]k\to\infty \wurzel[k]{(3+4i)^{k}(1-i)^{k}}[/mm]
>
> lim
> [mm]k\to\infty[/mm] (3+4i)(1-i)
>
> lim
> [mm]k\to\infty (3-i+4i-4i^2)[/mm]
>
>
> Kann das so stimmen?
>
> LG zitrone
Hallo Zitrone,
(3+4i) hat den Betrag 5. Wenn es Konvergenz geben soll, muss der Betrag von (z-i) kleiner als 1/5 sein.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 24.11.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo abakaus,
vielen Dank für die Antwort.
Nur würde ich das gerne verstehen...Ich hab das jetzt so gelernt, dass wenn ich den Konvergenzradius r bestimmen möchte, ich mir ein [mm] a_{k} [/mm] überlegen muss und diesen dann in den Limes einsetzen und k gegen unendlich gehen lassen muss.
Das hab ich auch mit der komplexen Potenzreihe versucht..Mir fällt aber auf, dass ich durch das Wurzelkriterium alle k's wegbekommen habe...
Also ist mein Rechenweg wahrscheinlich falsch, oder?
Jetzt versteh ich leider nicht, wie du auf "(3+4i) hat den Betrag 5. Wenn es Konvergenz geben soll, muss der Betrag von (z-i) kleiner als 1/5 sein." gekommen bist..:/
LG zitrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 24.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakaus,
>
> vielen Dank für die Antwort.
> Nur würde ich das gerne verstehen...Ich hab das jetzt so
> gelernt, dass wenn ich den Konvergenzradius r bestimmen
> möchte, ich mir ein [mm]a_{k}[/mm] überlegen muss und diesen dann
> in den Limes einsetzen und k gegen unendlich gehen lassen
> muss.
>
> Das hab ich auch mit der komplexen Potenzreihe
> versucht..Mir fällt aber auf, dass ich durch das
> Wurzelkriterium alle k's wegbekommen habe...
> Also ist mein Rechenweg wahrscheinlich falsch, oder?
>
> Jetzt versteh ich leider nicht, wie du auf "(3+4i) hat den
> Betrag 5. Wenn es Konvergenz geben soll, muss der Betrag
> von (z-i) kleiner als 1/5 sein." gekommen bist..:/
>
> LG zitrone
Hallo,
du summierst Terme der Form
[mm] $(3+4i)^k*(z-i)^k=\red{((3+4i)(z-i))^k}$.
[/mm]
Die Summe wird mit Sicherheit divergieren, wenn der Betrag von $(3+4i)*(z-i)$ größer als 1 ist...
Also muss der Betrag von $(3+4i)*(z-i)$ kleiner als 1 sein. Der Betrag der vorderen Klammer ist 5 ....
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Sa 24.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich hab da eine Potenzreihe bekommen und soll ihren
> Konvergenzradius bestimmen.
> Hab mir folgendes gedacht und wollte hier mal nachfragen,
> ob es so richtig ist oder ob ich es mir zu leich gemacht
> habe..:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (3+4i)^{k}(z-i)^{k}[/mm]
>
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm](3+4i)^{k}(1-i)^{k}[/mm]
Wie kommst Du auf die Idee ?
Es ist [mm] a_k=(3+4i)^k
[/mm]
>
> lim
> [mm]k\to\infty \wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm]
Danit ist [mm] \wurzel[k]{|a_{k}|}=|3+4i|
[/mm]
FRED
>
>
> lim
> [mm]k\to\infty \wurzel[k]{(3+4i)^{k}(1-i)^{k}}[/mm]
>
> lim
> [mm]k\to\infty[/mm] (3+4i)(1-i)
>
> lim
> [mm]k\to\infty (3-i+4i-4i^2)[/mm]
>
>
> Kann das so stimmen?
>
> LG zitrone
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Sa 24.11.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo Fred,
> > Hallo!
> >
> > Ich hab da eine Potenzreihe bekommen und soll ihren
> > Konvergenzradius bestimmen.
> > Hab mir folgendes gedacht und wollte hier mal
> nachfragen,
> > ob es so richtig ist oder ob ich es mir zu leich gemacht
> > habe..:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (3+4i)^{k}(z-i)^{k}[/mm]
> >
> > [mm]a_{k}[/mm] = [mm](3+4i)^{k}(1-i)^{k}[/mm]
>
> Wie kommst Du auf die Idee ?
Ich dachte halt, um den Konvergenzradius bestimmen zu können sollte man nur DAS K in dem Term haben...Hatte das auch so verstanden..
Aber wieso soll ich die beiden Klammers unabhängig voneinander in den lim einsetzen?
> Es ist [mm]a_k=(3+4i)^k[/mm]
> >
> > lim
> > [mm]k\to\infty \wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm]
>
>
> Danit ist [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}=|3+4i|[/mm]
>
LG zitrone
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