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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 11.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Mengen der
komplexen Zahlen,die durch folgende Ungleichungen und Gleichungen definiert sind:
a) Im z [mm] \le [/mm] 4,
b) |z + 2| + |z - 2| [mm] \le [/mm] 6,
c) |z + 2| - |z - 2| = 6. |
Aufgabe a hab ich schon hinbekommen, da hab ich einfach auhf der y-Achse (Imaginärer Teil) 4 markiert und eine linie parallel zur x-Achse(realer Teil) gezogen. Dann habe ich alles unterhalb der Linie gestrichelt markiert, denn das ist ja die Menge Im [mm] z\le [/mm] 4.
kann ich b und c irgendwie vereinfachen?
wie zeichne ich das ins Koordinatensystem?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Ersetze jeweils $z \ := \ a+i*b$ und berechne die jeweiligen Beträge und stelle um:
$$|z+2|+|z-2| \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
$$|a+i*b+2|+|a+i*b-2| \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
$$|a+2+i*b|+|a-2+i*b| \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
[mm] $$\wurzel{(a+2)^2+b^2}+\wurzel{(a-2)^2+b^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
Nun quadrieren und zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
wie komme ich denn darauf, dass ich z einfach durch a+i*b ersetzen kann?
Das i²=-1 ist muss ich doch auch noch beachten oder? muss das nicht auch noch unter die wurzel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
ah ja, ich sehe es gerade.
z = x+i*y = [mm] r(cos\alpha [/mm] + [mm] i*sin\alpha)
[/mm]
für alpha hab ich pfieh bei mir zu stehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
wenn ich z=-1 habe
und den winkel [mm] \alpha(pfieh) [/mm] haben will dann nehme ich den arctan(-1)=-45°
beim einsetzen nachher nehme ich dann 45° oder -45°?
oder sollte ich da im bogenmaß rechnen? also [mm] \alpha=-0,785
[/mm]
wenn ich dann am ende in die Formel:
[mm] r(cos\alpha [/mm] + i* [mm] sin\alpha)
[/mm]
meine Werte einsetzte bleibt mir noch die Frage was ich mit dem i mache.
Bsp.:
[mm] z=\bruch{1-i}{1+i}* \bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
da habe ich dann verreinfacht und z=-1 heraus bekommen.
dann r= 1
[mm] \alpha= [/mm] arctan(-1)= -45°......siehe oben
dann in der Formel
z=1*(cos45°+i*sin45°)
da ist meine frage was ich mit dem i mache!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 13.11.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Toni,
> wenn ich z=-1 habe
>
> und den winkel [mm]\alpha(pfieh)[/mm] haben will dann nehme ich den
> arctan(-1)=-45°
[mm] \green{knapp\ daneben}, [/mm] du nimmst [mm] arctan\left(-\bruch{Im(Z)}{Re(Z)}\right)=\varphi
[/mm]
und weil dein [mm] z=-1+\red{0}i [/mm] ist
bedeutet das für deine Aufgabe:
[mm] arctan\left(-\bruch{\red{0}}{1}\right)=0+\pi=\pi
[/mm]
also erhalten wir in der trigonometrischen Darstellung:
[mm] $z=-1=1*e^{\pi\ i}=1*[\ \underbrace{cos(\pi)}_{=-1}\ [/mm] +\ i\ [mm] \underbrace{sin(\pi)}_{=0}\ [/mm] ]$
Verständlich?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Hallo
das ist ja gut zu wissen!
Eine Frage habe ich aber noch:
wenn ich die trigonometrische Form habe, beispielsweise:
[mm] z=2(cos\bruch{\pi}{6}+i*sin\bruch{\pi}{6})
[/mm]
wie rechne ich jetzt weiter?
also die Frage bei mir ist, was ich mit dem i mache und wie das vereinfache.
die Werte eintippen und ausrechnen ist ja nicht so klug, da ich dann ja nur gerundete Werte bekomme.
Gruß, Toni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Hallo
ich habe den einen Teil unter der Wurzel mit der binomischen Formel aufgelöst und dann steht unter der wurzel das:
[mm] \wurzel{a²+4a+4+b²}+\wurzel{a²-4a+4+b²}\le [/mm] 6
wie komme ich denn da jetzt auf die Zeichnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo
>
> ich habe den einen Teil unter der Wurzel mit der
> binomischen Formel aufgelöst und dann steht unter der
> wurzel das:
>
> [mm]\wurzel{a²+4a+4+b²}+\wurzel{a²-4a+4+b²}\le[/mm] 6
>
> wie komme ich denn da jetzt auf die Zeichnung?
Damit die Formeln nicht so unübersichtlich werden, schreibe ich als Abkürzungen
[mm]u=a^2+4+b^2[/mm] und [mm]v=4a[/mm].
Am Schluss setze ich das wieder ein.
Dann lautet die Gleichung:
[mm]\wurzel{u+v}+\wurzel{u-v}\le6[/mm]
Solche Wurzel(un)gleichungen sind eigentlich ganz einfach, nur muss man mehrere Schritte machen.
Zunächst musst du alle Wurzeln auf die eine Seite, alle Nicht-Wurzeln auf die andere Seite bringen. Das hast du ja schon.
Dann quadrierst du:
[mm](\wurzel{u+v}+\wurzel{u-v})^2 \le 36[/mm]
[mm] \gdw (\wurzel{u+v})^2 + (\wurzel{u-v})^2 + 2 \wurzel{u+v}\wurzel{u-v} \le 36[/mm]
[mm] \gdw (u+v) + (u-v) +2 \wurzel{(u+v)(u-v)} \le 36[/mm]
[mm]\gdw 2u + 2 \wurzel{u^2-v^2} \le 36[/mm]
[mm] \gdw u + \wurzel{u^2-v^2} \le 18 [/mm]
Jetzt wieder Wurzeln und Nicht-Wurzeln auf verschiedene Seiten bringen und wieder quadrieren:
[mm] \gdw \wurzel{u^2-v^2} \le 18 -u [/mm]
[mm] \gdw u^2-v^2 \le (18-u)^2 = 324 -36u+u^2[/mm]
[mm] \gdw -v^2 \le 324 -36 u [/mm]
Jetzt ersetzt du u und v wieder und bekommst eine Ungleichung für a und b.
Viele Grüße
Rainer
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
. . . . ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Rechnen mit komplexen Zahlen![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, denn die formel für den Betrag einer komplexen Zahl lautet ja:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
-- arbeite liebe mit den Werten aus dieser Tabelle hier und behalte die Wurzeln wenn möglich bei. Es gibt genug Aufgaben, bei denen sich die Wurzeln dann später heraus kürzen lassen.
