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| Aufgabe | | Zeigen Sie,dass die Menge [mm] \IC:=\IR^{2} [/mm] zusammen mit der wie folgt erklärten Addition (+) und Multiplikation (*) (x,y)+(u,v)=(x+u,y+v) und (x,y) * (u,v)=(xu-yv,xv+yu) einen Körper bildet. Dabei ist (0,0) das neutrale Element der Addition und (1,0) das neutrale Element der Multiplikation. Das zu [mm] z=(x,y)\not=0 [/mm] inverse Element der Multiplikation ist durch [mm] z^{-1}:=(\bruch{x}{x^{2}+y^{2}},\bruch{-y}{x^{2}+y^{2}}) [/mm] gegeben. |
Ich soll ja zeigen,dass es ein Körper ist. Daher muss ich nun zeigen,dass alle Körperaxiome gelten. Ist dieser Ansatz richtig?
kommutativ:
Seien [mm] z_{1}=(x,y) [/mm] und [mm] z_{2}=(u,v)
[/mm]
z.Z: [mm] z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}
[/mm]
[mm] z_{1}+z_{2}=(x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)=(u+x,v+y)=(u,v)+(x,y)=z_{2}+z_{1}
[/mm]
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> Zeigen Sie,dass die Menge [mm]\IC:=\IR^{2}[/mm] zusammen mit der wie
> folgt erklärten Addition (+) und Multiplikation (*)
> (x,y)+(u,v)=(x+u,y+v) und (x,y) * (u,v)=(xu-yv,xv+yu) einen
> Körper bildet. Dabei ist (0,0) das neutrale Element der
> Addition und (1,0) das neutrale Element der Multiplikation.
> Das zu [mm]z=(x,y)\not=0[/mm] inverse Element der Multiplikation ist
> durch
> [mm]z^{-1}:=(\bruch{x}{x^{2}+y^{2}},\bruch{-y}{x^{2}+y^{2}})[/mm]
> gegeben.
> Ich soll ja zeigen,dass es ein Körper ist. Daher muss ich
> nun zeigen,dass alle Körperaxiome gelten. Ist dieser Ansatz
> richtig?
> kommutativ:
> Seien [mm]z_{1}=(x,y)[/mm] und [mm]z_{2}=(u,v)[/mm]
> z.Z: [mm]z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}[/mm]
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> [mm]z_{1}+z_{2}=(x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)=(u+x,v+y)=(u,v)+(x,y)=z_{2}+z_{1}[/mm]
Hallo,
ja, das ist richtig.
An der Stelle, an der Du die Komponenten vertauschst, mußt Du unbedingt daraufhinweisen, daß Du die Kommutativität der Addition in [mm] \IR [/mm] verwendest, oder zumindest erkennen lassen, daß Dir klar ist, daß Du verwendest, daß [mm] \IR [/mm] ein Körper ist.
Gruß v. Angela
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