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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Seien n und m natürliche Zahlen. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen, welche [mm] z^m [/mm] = 1 und [mm] (z-1)^n [/mm] =1 erfüllen. |
Hallo,
ich habe für a) [mm] z^m [/mm] = 1 mir folgendes überlegt.
Es gilt für m=2
[mm] z^2 [/mm] -> z*z = [mm] |z|^2 [/mm] (cos 2 [mm] \phi [/mm] + i sin 2 [mm] \phi)
[/mm]
[mm] z^3 [/mm] -> z*z*z = [mm] |z|^3(cos 3\phi [/mm] + i sin [mm] 3\phi) [/mm]
usw.
Also [mm] z^m= [r(cos\phi [/mm] + i sin [mm] \phi)]^n [/mm] =1
-> [mm] z^m [/mm] = [mm] r^n [cos(n\phi) [/mm] + i sin [mm] (n\phi)]=1
[/mm]
mit [mm] n\phi [/mm] = k*360° , k=0,1,2,...
ergibt sich nun
[mm] z^m [/mm] = cos [mm] (k*\frac{360°}{n}) [/mm] + isin [mm] (k*\frac{360°}{n}) [/mm]
Bitte um kurze Rückmeldung!
Danke und Grüße
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Hallo Bodo,
gut überlegt.
Das nennt man die Moivre-Formel.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
gut! Das war ja nicht schwierig  .
Aber wie muss ich jetzt bei [mm] (z-1)^n [/mm] = 1 vorgehen?
Bitte um kurze Rückmeldung! Danke
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Hallo Bodo,
wozu nochmal rechnen, wenn die Aufgabe im Prinzip doch schon gelöst ist?
Substituiere doch mal u=z-1.
Dann lösen und rücksubstituieren...
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also
[mm] (z-1)^n [/mm] = 1
Subst. u=z-1
[mm] u^n=1
[/mm]
nach a)
[mm] u^n=cos(k*\frac{360°}{n})+ isin(k*\frac{360}{n})
[/mm]
aber das ist doch genau dasselbe wie vorher auch... verstehe ich jetzt nicht...
Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bodo,
ich sehe das doch richtig, dass im ersten Teil $z^{\red{m}}=1$ steht und im zweiten Teil $(z-1)^\blue{n}}=1$
Dann musst du die Lösung für den ersten Teil etwas korrigieren zu $
$z_k=\cos\left(k\cdot{}\frac{2\pi}{\red{m}}\right)+i\cdot{}\sin\left(k\cdot{}\frac{2\pi}{\red{m}}\right)$ für $k=0,1,2,...,m-1$
Ich würde mir aber die ganze Sache eher geometrisch überlegen:
Die m Lösungen von $z^m=1$ liegen auf dem Einheitskreis $K_{0,1}$ und bilden ein regelmäßiges m-Eck, die n Lösungen von $(z-1)^n=1$ liegen auf dem Kreis $K_{1,1}$ um $w=1 \ (=1+0\cdot{}i)$ mit Radius 1 und bilden ein regelmäßiges n-Eck.
Nun haben die beiden Kreise $K_{0,1}$ und $K_{1,1}$ zwei Schnittpunkte - welche?
Damit können max. 2 komplexe Zahlen beide Ausgangsgleichungen erfüllen
Und für welche n und m und k liegen n-te bzw. m-te Einheitswurzeln genau auf diesen Schnittpunkten?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, wenn ich irgendwelche Schnittpunkte ausrechnen möchte, würde ich sagen müssen in der gleichungslehre 2 gleichungen gleichgesetzt werden.
Wie muss ich bezeichnung deuten? [mm] K_{0,1} [/mm] und [mm] K_{1,1}
[/mm]
Das mit der geometrischen Deutung von a) ist klar!
Kreis a) geht auf der x-Achse durch 1 mit Mittelpunkt 0
Kreis b) liegt im ersten und vierten Quadraten hat mittelpunkt 1 auf der x-Achse und Radius 1
Schnittpunkt geometrisch klar!
Aber wie ich das jetzt berechne, hmmm...
Hoffe du kannst mir weiterhelfen..
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Hallo Bodo,
ich war gerade einkaufen, darum bin ich spät dran
> Ok, wenn ich irgendwelche Schnittpunkte ausrechnen möchte,
> würde ich sagen müssen in der gleichungslehre 2 gleichungen
> gleichgesetzt werden.
>
> Wie muss ich bezeichnung deuten? [mm]K_{0,1}[/mm] und [mm]K_{1,1}[/mm]
Dait bezeichne ich den Kreis um 0 mit Radius 1 und den Kreis um 1 mit Radius 1
Allg. ist für komplexe $z,w \ \ \ \ \ |z-w|=r$ der Kreis(rand) um w mit Radius r
$|z-w|$ ist geometrisch der Abstand von z und w, und die Menge aller z, die von w den Abstand r haben ist halt der Kreisrand.
Ganz ähnlich $|z-w|<r$, das ist die Kreisscheibe ohne Rand, [mm] $|z-w|\le [/mm] r$ die Kreisscheibe mit Rand ...
[mm] $K_{0,1}$ [/mm] ist der Kreis um 0 mit Radius 1, also $|z-0|=1$, also $|z|=1$
Alle Lösungen (Einheitswurzeln) der Gl. [mm] $z^m=1$ [/mm] liegen auf diesem Kreisrand und bilden ein regelm. m-Eck
Analog ist [mm] $K_{1,1}$ [/mm] der Kreis um 1 mit Radius 1, also $|z-1|=1$
Sämtliche Lösungen von [mm] $(z-1)^n=1$ [/mm] liegen auf dem Kreisrand [mm] $K_{1,1}$
[/mm]
Um beide Kreisgleichungn gleichzusetzemn, setze $z=x+iy$ und benutze die Definition des Betrages einer komplexen Zahl!
Es ist zB. im zweiten Fall [mm] $|z-1|=|(x+iy)-1|=|(x-1)+iy|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$ [/mm] ...
Da erkennst du bestimmt die reelle Kreisgleichung wieder ...
> Das mit der geometrischen Deutung von a) ist klar!
>
> Kreis a) geht auf der x-Achse durch 1 mit Mittelpunkt 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kreis b) liegt im ersten und vierten Quadraten hat
> mittelpunkt 1 auf der x-Achse und Radius 1
>
> Schnittpunkt geometrisch klar!
> Aber wie ich das jetzt berechne, hmmm...
Ausrechnen s.o.
>
> Hoffe du kannst mir weiterhelfen..
Hoffe ich auch ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 19.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also ich habe jetzt:
a) [mm] |z|=|x+iy|=\wurzel(x^2+y^2)
[/mm]
b) [mm] |z-1|=|x+iy-1|=|(x-1)+iy|=\wurzel((x-1)^2+y^2)
[/mm]
Jetzt a=b
[mm] \wurzel(x^2+y^2) [/mm] = [mm] \wurzel((x-1)^2+y^2)
[/mm]
[mm] \gdw x^2+y^2 [/mm] = [mm] (x-1)^2+y^2
[/mm]
[mm] \gdw x^2+y^2 [/mm] = [mm] x^2-2x+1+y^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2x=1
[mm] \gdw x=\frac{1}{2}
[/mm]
Nun brauche ich doch eigentlich noch die y-Koordinate...
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hi,
>
> also ich habe jetzt:
>
> a) [mm]|z|=|x+iy|=\wurzel(x^2+y^2)[/mm]
> b) [mm]|z-1|=|x+iy-1|=|(x-1)+iy|=\wurzel((x-1)^2+y^2)[/mm]
>
> Jetzt a=b
>
> [mm]\wurzel(x^2+y^2)[/mm] = [mm]\wurzel((x-1)^2+y^2)[/mm]
> [mm]\gdw x^2+y^2[/mm] = [mm](x-1)^2+y^2[/mm]
> [mm]\gdw x^2+y^2[/mm] = [mm]x^2-2x+1+y^2[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 2x=1
> [mm]\gdw x=\frac{1}{2}[/mm]
>
> Nun brauche ich doch eigentlich noch die y-Koordinate...
y ist doch hier beliebig.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also wäre die Aufgabe hiermit so gelöst?
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Also wäre die Aufgabe hiermit so gelöst?
Ja.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok,
aber es heißt doch, man soll alle komplexen Zahlen bestimmen die [mm] z^m=1 [/mm] und [mm] (z-1)^n=1 [/mm] erfüllen.. Aber wie heißen denn jetzt meine komplexen Zahlen? ....
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 20.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok,
>
> aber es heißt doch, man soll alle komplexen Zahlen
> bestimmen die [mm]z^m=1[/mm] und [mm](z-1)^n=1[/mm] erfüllen.. Aber wie
> heißen denn jetzt meine komplexen Zahleen?
Hallo,
die Aufgabe ist wirklich noch nicht gelöst. FALLS es Lösungen gibt, liegen sie gleichzeitig auf beiden Kreisen,sind also Schnittpunkte beider Kreise (das sind die komplexen Zahlen [mm] 0,5+0,5\wurzel{3}i [/mm] und [mm] 0,5-0,5\wurzel{3}i [/mm] )
Nun wird ja die jeweilige Gleichung nicht von unendlich vielen Punkten erfüllt, sondern nur von n bzw. m Punkten.
Ein Schnittpunkt der Kreise ist nur dann eine Lösung des GS, wenn n und m gerade so gewählt wurden, dass der Schnittpunkt zur jeweiligen Lösungsmenge beider Gleichungen gehört.
Wie ich auf die Schnelle feststelle, gilt das, wenn sowohl m als auch n Vielfache von 6 sind (ob noch in anderen Fällen, weiß ich im Moment nicht so genau).
Gruß Abakus
>
> Danke und Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Wie errechne ich jetzt die komplexen Zahlen?
Ich habe folgendes;
a) |z|=1
b) |z|=0,5+iy
a)=b)
[mm] \wurzel(0,25+y^2)=\wurzel(1)
[/mm]
[mm] \gdw 0,25+y^2=1
[/mm]
[mm] \gdw y^2=0,75
[/mm]
[mm] \gdw y=\frac{\wurzel(3)}{2}
[/mm]
Also z=x+iy [mm] \gdw 0,5+i\frac{\wurzel(3)}{2}
[/mm]
richtig?
Grüße
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Hallo Bodo,
nicht ganz...
> a) |z|=1
> b) |z|=0,5+iy ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Schnittstellen der beiden Kreise liegen bei [mm] \red{z=\bruch{1}{2}+iy}
[/mm]
Der Betrag einer komplexen Zahl ist immer eine reelle Zahl!
Aus b) folgt nun [mm] |z|=\left(\bruch{1}{2}+iy\right)\left(\bruch{1}{2}-iy\right)=\bruch{1}{4}+y^2
[/mm]
...und das meinst Du ja auch im folgenden.
> a)=b)
> [mm]\wurzel(0,25+y^2)=\wurzel(1)[/mm]
> [mm]\gdw 0,25+y^2=1[/mm]
> [mm]\gdw y^2=0,75[/mm]
> [mm]\gdw y=\red{\pm}\frac{\wurzel(3)}{2}[/mm]
>
> Also z=x+iy [mm]\gdw 0,5\red{\pm}i\frac{\wurzel(3)}{2}[/mm]
> richtig?
>
> Grüße
Mit dem roten [mm] \red{\pm} [/mm] stimmts dann aber.
Jetzt musst Du nur noch begründen, warum der eine Exponent durch 6, der andere durch 3 teilbar sein muss, und natürlich welcher welcher ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > Hi,
> >
> > also ich habe jetzt:
> >
> > a) [mm]|z|=|x+iy|=\wurzel(x^2+y^2)[/mm]
> > b) [mm]|z-1|=|x+iy-1|=|(x-1)+iy|=\wurzel((x-1)^2+y^2)[/mm]
> >
> > Jetzt a=b
> >
> > [mm]\wurzel(x^2+y^2)[/mm] = [mm]\wurzel((x-1)^2+y^2)[/mm]
> > [mm]\gdw x^2+y^2[/mm] = [mm](x-1)^2+y^2[/mm]
> > [mm]\gdw x^2+y^2[/mm] = [mm]x^2-2x+1+y^2[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] 2x=1
> > [mm]\gdw x=\frac{1}{2}[/mm]
> >
> > Nun brauche ich doch eigentlich noch die y-Koordinate...
>
>
> y ist doch hier beliebig.
Das stimmt nicht ! Es gilt doch auch: $|z| = 1$. Mit $z = 1/2+iy$ folgt
$y = [mm] \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
FRED
>
>
> >
> > Grüße
>
>
> Gruß
> MathePower
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