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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}^{61} [/mm] |
komme nicht weiter bei dieser Berechnung....
[mm] \bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}^{61}
[/mm]
[mm] =\bruch{4-3i}{3+4i}^{61} [/mm] und wie ist der Trick jetzt um das weiter berechnen zu können, weiß hier grad nicht mehr so richtig wie ich weiter vorgehen muss...
Grüße
Roffel
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Hallo Roffel!
> [mm]=\bruch{4-3i}{3+4i}^{61}[/mm]
Achtung: Klammern nicht vergessen.
Bei derartig hohen Potenzen solltest Du auf die  Moivre-Formel zurückgreifen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke für die schnelle Antwort....
[mm]=\bruch({4-3i}{3+4i})^{61}[/mm]
>
> Achtung: Klammern nicht vergessen.
ups vergessen^^
> Bei derartig hohen Potenzen solltest Du auf die
> Moivre-Formel zurückgreifen.
hab darüber jetzt paar Artikel über google durchgelesen, weiß aber grad nicht wie ich damit genau starten bzw. umgehen muss.... hm
Grüße
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Hallo,
sehe ich das richtig, die Zahl heißt so:
[mm]\left(\frac{3+4i}{4-3i}\right)^{61}[/mm]
?
Vereinfache doch mal zunächst den Bruch, und wende dann die Moivre-Formel an, wie ja schon gesagt wurde.
Gruß, Diophant
EDIT: Auf den nachfolgenden Tipp von M.Rex hin habe ich die Klammern nachgebessert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Fr 17.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant.
Ein Kleiner Tipp:
Wenn du die Klammern mit \left( bzw. \right) "skalierst!, werden sie in passender Grösse angezeigt:
Aus
[mm] (\frac{3+4i}{4-3i})^{61} [/mm]
wird dann eben der etwas schönere Ausdruck:
[mm] \left(\frac{3+4i}{4-3i}\right)^{61} [/mm]
Das ganze geht auch mit den eckigen Klammern \left[ bzw den geschweiften Klammern, \right\}, beachte hier aber den Backslash vor der Klammer.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
danke für den Tipp. Ich bin (bis jetzt) ein blutiger LaTeX-Anfänger und von daher dankbar für solche Tipps. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
so sieht es ursprünglich aus:
[mm] \left(\bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}\right)^{61}
[/mm]
> Vereinfache doch mal zunächst den Bruch, und wende dann
> die Moivre-Formel an, wie ja schon gesagt wurde.
ja ich würde gerne die Moivre-Formel anwenden , nur weiß ich bisher nicht wie es vereinfachen kann , noch wie ich diese Regeln anwenden muss....
Grüße
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Hallo Roffel,
so ein Bruchstrich ist doch nichts anderes als eine Division. Du darfst also den Zähler durch den Nenner dividieren.
Das Ergebnis dieser Division ist eben kein Bruch mehr, sondern eine komplexe Zahl der Form x+iy. Von dieser Zahl benötigst du dann noch Betrag und Argument, und das setzt du dann in
[mm]z^n=[r*(cos(\phi)+i*sin(\phi))]^n=r^n*(cos(n*\phi)+i*sin(n*\phi))[/mm]
ein.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi Diophant,
> Das Ergebnis dieser Division ist eben kein Bruch mehr,
> sondern eine komplexe Zahl der Form x+iy. Von dieser Zahl
> benötigst du dann noch Betrag und Argument, und das setzt
> du dann in
>
> [mm]z^n=[r*(cos(\phi)+i*sin(\phi))]^n=r^n*(cos(n*\phi)+i*sin(n*\phi))[/mm]
das hört sich alles gut an... wär das möglich das du mir das mal Vorrechnen kannst, dann könnt ich das auch auf meine anderen Aufgaben anwenden???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Fr 17.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> das hört sich alles gut an... wär das möglich das du mir
> das mal Vorrechnen kannst, dann könnt ich das auch auf
> meine anderen Aufgaben anwenden???
>
Andersrum machen wirs  . Du rechnest vor, wie weit du mit dem Tipp kommst, dann sehen wir weiter.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Ok =) versuchen wir es mal.
> so ein Bruchstrich ist doch nichts anderes als eine
> Division. Du darfst also den Zähler durch den Nenner
> dividieren.
> Das Ergebnis dieser Division ist eben kein Bruch mehr,
> sondern eine komplexe Zahl der Form x+iy.
[mm] \left(\bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}\right)^{61}=\left(\bruch{4-3i}{3+4i}\right)^{61} [/mm] und jetzt soll ich das also "einfach" dividieren.. hm :) dazu muss ich ja doch was ausklammern oder nicht? ich dachte immer "aus Summen kürzen nur die Dummen" :D
Von dieser Zahl
> benötigst du dann noch Betrag und Argument, und das setzt
> du dann in
>
> [mm]z^n=[r*(cos(\phi)+i*sin(\phi))]^n=r^n*(cos(n*\phi)+i*sin(n*\phi))[/mm]
Grüße Roffel
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Hallo Roffel!
Betrachten wir zunächst nur den Bruch innerhalb der Klammer und formen diesen um:
[mm] $$\bruch{4-3i}{3+4i}$$
[/mm]
Wie bei der Division mit komplexen Zahlen üblich, nun mit dem Konjugierten des Nenners erweitern und dann zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi Roadrunner
> Betrachten wir zunächst nur den Bruch innerhalb der
> Klammer und formen diesen um:
> [mm]\bruch{4-3i}{3+4i}[/mm]
> Wie bei der Division mit komplexen Zahlen üblich, nun mit
> dem Konjugierten des Nenners erweitern und dann
> zusammenfassen.
ja das hab ich mittlerweile verstanden und ich bekomm dadurch bei dieser Aufgabe die Lösung raus, allerdings würde ich auch noch gern den Rechenweg von Diophant verstehen...
Diophant meinte:
"so ein Bruchstrich ist doch nichts anderes als eine Division. Du darfst also den Zähler durch den Nenner dividieren.
Das Ergebnis dieser Division ist eben kein Bruch mehr, sondern eine komplexe Zahl der Form x+iy. "
dieser Schritt? was meint er damit, oder meint er dabei das erweitern und dann kürzen ?
"Von dieser Zahl benötigst du dann noch Betrag und Argument, und das setzt du dann in "
und ich weiß au noch nicht wie ich das mit dem Betrag und Argument hin bekomm....
Grüße
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Hallo nochmal,
> Hi Roadrunner
>
> > Betrachten wir zunächst nur den Bruch innerhalb der
> > Klammer und formen diesen um:
> > [mm]\bruch{4-3i}{3+4i}[/mm]
> > Wie bei der Division mit komplexen Zahlen üblich, nun
> mit
> > dem Konjugierten des Nenners erweitern und dann
> > zusammenfassen.
> ja das hab ich mittlerweile verstanden und ich bekomm
> dadurch bei dieser Aufgabe die Lösung raus, allerdings
> würde ich auch noch gern den Rechenweg von Diophant
> verstehen...
>
> Diophant meinte:
> "so ein Bruchstrich ist doch nichts anderes als eine
> Division. Du darfst also den Zähler durch den Nenner
> dividieren.
> Das Ergebnis dieser Division ist eben kein Bruch mehr,
> sondern eine komplexe Zahl der Form x+iy. "
>
> dieser Schritt? was meint er damit, oder meint er dabei das
> erweitern und dann kürzen ?
Ja, genauso, wie es im weiteren gemacht wurde, das ist die Standardvereinfachung: Den Nenner reell machen, dann kannst du es als [mm]x+iy[/mm] schreiben. Danach potenzieren - wie auch immer ...
>
> "Von dieser Zahl benötigst du dann noch Betrag und
> Argument, und das setzt du dann in "
>
> und ich weiß au noch nicht wie ich das mit dem Betrag und
> Argument hin bekomm....
Nun, vereinfacht haben wir also [mm](-i)^{61}[/mm] zu bestimmen ...
Mit Moivre: [mm](-i)^{61}=|-i|^{61}\cdot{}\big[\cos(61\cdot{}\operatorname{arg}(-i))+i\cdot{}\sin(61\cdot{}\operatorname{arg}(-i))\big][/mm]
Was ist [mm]|-i|[/mm] ?
Das Argument kannst du doch ablesen: [mm]-i[/mm] liegt wo im Koordinatensystem? Schließt also mit der reellen Achse welchen Winkel ein?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hallo nochmal
> Ja, genauso, wie es im weiteren gemacht wurde, das ist die
> Standardvereinfachung: Den Nenner reell machen, dann kannst
> du es als [mm]x+iy[/mm] schreiben. Danach potenzieren - wie auch
> immer ...
k. nachdem ich erweitert und den Nenner also reell dastehen habe
steht ja das hier da bei mir:
[mm] \left(\bruch{12-25i-12}{9+16}\right)^{61}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{-25i}{25}\right)^{61} [/mm] und wie kann das jetzt als x+iy schreiben? oder hätte ich das schon früher machen können/müssen??
> >
> > "Von dieser Zahl benötigst du dann noch Betrag und
> > Argument, und das setzt du dann in "
> Nun, vereinfacht haben wir also [mm](-i)^{61}[/mm] zu bestimmen ...
>
> Mit Moivre:
> [mm](-i)^{61}=|-i|^{61}\cdot{}\big[\cos(61\cdot{}\operatorname{arg}(-i))+i\cdot{}\sin(61\cdot{}\operatorname{arg}(-i))\big][/mm]
>
> Was ist [mm]|-i|[/mm] ? wie meinst du das?:) |-i|=i?
>
> Das Argument kannst du doch ablesen: [mm]-i[/mm] liegt wo im
> Koordinatensystem? Schließt also mit der reellen Achse
> welchen Winkel ein?
was ist nochmal genau das Argument??
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hallo nochmal
>
> > Ja, genauso, wie es im weiteren gemacht wurde, das ist die
> > Standardvereinfachung: Den Nenner reell machen, dann kannst
> > du es als [mm]x+iy[/mm] schreiben. Danach potenzieren - wie auch
> > immer ...
> k. nachdem ich erweitert und den Nenner also reell
> dastehen habe
> steht ja das hier da bei mir:
> [mm]\left(\bruch{12-25i-12}{9+16}\right)^{61}[/mm]
> [mm]=\left(\bruch{-25i}{25}\right)^{61}[/mm] und wie kann das jetzt
> als x+iy schreiben? oder hätte ich das schon früher
> machen können/müssen??
Nein, du sollst die Basis als $x+iy$ schreiben und dann erst potenzieren:
[mm] $\left(\frac{-25i}{25}\right)^{61}=(-i)^{61}=(0+(-1)\cdot{}i)^{61}
[/mm]
Also $0=x$ und $-1=y$
Das Ergebnis, das du dann nach dem Potenzieren bekommst, sollst du natürlich auch in der "Standardform" [mm] $\alpha+\beta\cdot{}i$ [/mm] darstellen ...
> > >
> > > "Von dieser Zahl benötigst du dann noch Betrag und
> > > Argument, und das setzt du dann in "
>
> > Nun, vereinfacht haben wir also [mm](-i)^{61}[/mm] zu bestimmen ...
> >
> > Mit Moivre:
> >
> [mm](-i)^{61}=|-i|^{61}\cdot{}\big[\cos(61\cdot{}\operatorname{arg}(-i))+i\cdot{}\sin(61\cdot{}\operatorname{arg}(-i))\big][/mm]
> >
> > Was ist [mm]|-i|[/mm] ? wie meinst du das?:) |-i|=i?
> >
> > Das Argument kannst du doch ablesen: [mm]-i[/mm] liegt wo im
> > Koordinatensystem? Schließt also mit der reellen Achse
> > welchen Winkel ein?
> was ist nochmal genau das Argument??
Das steht doch direkt darüber: Für [mm] $z\in\IC$ [/mm] ist [mm] $\operatorname{arg}(z)$ [/mm] der Winkel, den $z$ mit der reellen Achse einschließt.
(bzw. ein Winkel ... - das ist nur bis auf Vielfache von [mm] $2\pi$ [/mm] eindeutig - daher nimmt man meist Winkel aus [mm] $(-\pi,\pi]$ [/mm] oder [mm] $(0,2\pi]$ [/mm] und nennt das Hauptargument)
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Fr 17.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja klammer doch mal z. Bsp unten i aus.
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hallo
> ja klammer doch mal z. Bsp unten i aus.
k.
[mm] \left(\bruch{4-3i}{3+4i}\right)^{61}=\left(\bruch{4-3i}{i(\bruch{3}{i}+4)}\right)^{61}
[/mm]
k und was hab ich nun davon? =) also wir mir geht leider noch kein Licht auf...
Grüße
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Hallo,
das mit dem Ausklammern ist so ne Sache bei den komplexen Zahlen. Irgendwas "durch i" solltest Du da aber nicht stehen haben!
> [mm]\left(\bruch{4-3i}{3+4i}\right)^{61}=\left(\bruch{4-3i}{i(\bruch{3}{i}+4)}\right)^{61}[/mm]
>
> k und was hab ich nun davon? =) also wir mir geht leider
> noch kein Licht auf...
Na dann: [mm] 3+4i=i*(4-3i)^{}
[/mm]
Besser?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
> das mit dem Ausklammern ist so ne Sache bei den komplexen
> Zahlen. Irgendwas "durch i" solltest Du da aber nicht
> stehen haben!
k verstanden.
> Na dann: [mm]3+4i=i*(4-3i)^{}[/mm]
>
> Besser?
das ist natürlich ziemlich clever von dir ;) weil es sich dann gut rauskürzt und man ganz schnell [mm] (-i)^{61} [/mm] da stehen hat .
aber welche Regel steckt da nochmal dahinter das ich aus 3+4i=i*(4-3i) machen darf??
Grüße
Roffel
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Hallo nochmal,
> > das mit dem Ausklammern ist so ne Sache bei den komplexen
> > Zahlen. Irgendwas "durch i" solltest Du da aber nicht
> > stehen haben!
> k verstanden.
>
>
>
> > Na dann: [mm]3+4i=i*(4-3i)^{}[/mm]
> >
> > Besser?
> das ist natürlich ziemlich clever von dir ;) weil es
> sich dann gut rauskürzt und man ganz schnell [mm](-i)^{61}[/mm] da
> stehen hat .
>
> aber welche Regel steckt da nochmal dahinter das ich aus
> 3+4i=i*(4-3i) machen darf??
Na, [mm]i[/mm] ausklammern und bedenken, dass [mm]\frac{1}{i}=-i[/mm] ist, denn:
alter und immer wiederkehrender Trick mit Reellmachen des Nenners durch Erweitern mit seinem komplex Konjugierten:
[mm]\frac{1}{i}=\frac{1\cdot{}\red{(-i)}}{i\cdot{}\red{(-i)}}=\frac{-i}{1}=-i[/mm]
>
> Grüße
> Roffel
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke schachuzipus
ja mit den komplexen Zahlen habe ich noch so meine Probleme.. Freunde sind wir leider noch nicht geworden :)
muss mir unbedingt die paar Tricks wo man kennt gut merken! =)
Grüße
Roffel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Fr 17.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Roffel,
> ja mit den komplexen Zahlen habe ich noch so meine
> Probleme.. Freunde sind wir leider noch nicht geworden :)
>
> muss mir unbedingt die paar Tricks wo man kennt gut merken!
> =)
Das "Reell-Machen" des Nenners ist nicht nur ein Trick, sondern Pflicht.
Aber gerade wenn man noch nicht an die komplexen Zahlen gewöhnt ist, ist die Formel, die schachuzipus gerade genannt hat, elementar wichtig:
[mm] \bruch{1}{i}=-i
[/mm]
Das rettet einen ziemlich häufig...
Grüße
reverend
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Hallo,
> so sieht es ursprünglich aus:
>
> [mm]\left(\bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}\right)^{61}[/mm]
>
>
>
> > Vereinfache doch mal zunächst den Bruch, und wende dann
> > die Moivre-Formel an, wie ja schon gesagt wurde.
Mache das, bilde das konj. Komplexe im Zähler und erweitere den Bruch dann mit dem komplex Konjugierten des Nenners
>
> ja ich würde gerne die Moivre-Formel anwenden , nur weiß
> ich bisher nicht wie es vereinfachen kann , noch wie ich
> diese Regeln anwenden muss....
Nicht mit Kanonen (oder mit Panzern) auf Spatzen schießen.
Vereinfache zunächst wie oben beschrieben und schalte den Kopf ein.
Potenzgesetze!!
[mm] $61=60+1=4\cdot{}15+1$
[/mm]
Da lohnt es sich nicht, überhaupt an irgendeine Formel zu denken, so trivial ist das ...
>
> Grüße
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke euch!
so zu erst probier ich es mal mit der trivialen Methode von schachuzipus :)
> Nicht mit Kanonen (oder mit Panzern) auf Spatzen
> schießen.
geht klar! würd ich auch nie freiwillig machen ;)
> Vereinfache zunächst wie oben beschrieben und schalte den
> Kopf ein.
Kopfeinschalten... hm klingt schwer aber ich probiers xD
>Potenzgesetze!!
> [mm]61=60+1=4\cdot{}15+1[/mm]
k hab noch nicht rausgefunden wann mir das helfen wird aber ich probiers...
[mm] \left(\bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}\right)^{61}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{4-3i}{3+4i}\right)^{61}
[/mm]
erweitern mit (3-4i) ergibt:
[mm] =\left(\bruch{12-16i-9i+12i^{2}}{9-12i+12i-16i^{2}}\right)^{61}
[/mm]
= [mm] \left(\bruch{12-25i-12}{9+16}\right)^{61}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{-25i}{25}\right)^{61} [/mm]
[mm] =(-i)^{61} [/mm] stimmt das noch bis hier?? falls ja kommt wahrscheinlich jetzt der Moment mit dem Kopf einschalten bzw. mit den Potenzgesetzen.... da hackts noch ein wenig, die Potzenzgesetze sind mir eigentlich bewusst aber ich weiß bisher nicht wie sie mir hier helfen können...
Grüße
Roffel
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Hallo nochmal,
> Danke schachuzipus.
>
>
>
>
> > > da hackts noch ein wenig,
> >
> > Das muss dann aber weh tun, wenn es hackt, oder hakt es gar
> > nur?
>
> ne hat schon ein bissel weh getan ;)
>
> > Oh, wir sind hier alle per "du", sonst kommt man sich so
> > ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]") vor
> k ich probiere es mir zu merken :)
>
>
> > [mm]i^1=i[/mm]
> >
> > [mm]i^2=-1[/mm]
> >
> [mm]i^3=-i[/mm]
> >
> [mm]i^4=1[/mm]
> >
> > [mm]i^5=i[/mm]
> so meinst du das? nur zur Sicherheit ^^
Jo!
> > usw., das wiederholt sich in 4er-Schritten
> k gut!
> > Damit
> >
> [mm](-i)^{61}=(-1)^{61}\cdot{}i^{61}=(-1)\cdot{}i^{60+1}=(-1)\cdot{}\left[i^{60}\cdot{}i^1\right]=(-1)\cdot{}\left[i^{4\cdot{}15}\cdot{}i\right]=(-1)\cdot{}\left[\left(i^4\right)^{15}\cdot{}i\right]=\ldots[/mm]
>
> [mm]=(-1)\cdot{}\left[\left\left((i^2\right)^{2}\right)^{15}\cdot{}i\right][/mm]
Nicht wieder aufspalten, es ist doch oben [mm]i^4=1[/mm], also [mm]\left(i^4\right)^{15}=1^{15}=1[/mm]
Damit steht in der klammer [mm]1\cdot{}i=i[/mm]
Das mal [mm]-1[/mm], als Ergebnis: [mm]-i[/mm] ...
> = (-1)*[[red]-1[/red]*i] = i right ? :)
Ne, da steht doch mit deiner weitern Azufspaltung [mm](\blue{i^2})^2=(\blue{-1})^2=1[/mm]
> > >
> > > Grüße
> > > Roffel
>
>
Gruß
schachuzipus
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> Berechnen Sie:
>
> [mm]\bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}^{61}[/mm]
> komme nicht weiter bei dieser Berechnung....
>
> [mm]\bruch{(\overline{4+3i})}{3+4i}^{61}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4-3i}{3+4i}^{61}[/mm] und wie ist der Trick jetzt um
> das weiter berechnen zu können, weiß hier grad nicht mehr
> so richtig wie ich weiter vorgehen muss...
>
>
> Grüße
> Roffel
Hallo Roffel,
die Moivre-Formel scheint mir hier schon ein zu
schweres Geschütz zu sein. Zuerst die Konjugation
ausführen ergibt:
[mm]\left(\bruch{{4-3i}}{3+4i}\right)^{61}[/mm]
Jetzt sollte man merken, dass der Bruch in der
Klammer eventuell etwas gaaanz einfaches sein
könnte. Erweitere den Bruch zum Beispiel mal mit (3-4i) !
Dieses einfache Ding zu potenzieren ist dann eben-
falls sehr leicht.
LG Al-Chw.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
