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| Aufgabe | Wir betrachten die Gruppe [mm] (\IC, [/mm] ·) der von Null verschiedenen komplexen
Zahlen zusammen mit der Multiplikation.
i) Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1 ein z [mm] \in \IC [/mm] existiert mit ord(z) = n.
ii)Beweisen Sie: Ist ||z|| [mm] \not= [/mm] 1 so folgt, dass ord(z) = [mm] \infty [/mm] gilt.
iii) Wieviele z [mm] \in \IC [/mm] mit ord(z) = 12 gibt es?
iv) Zeigen Sie, dass [mm] (\IC, [/mm] ·) nicht zyklisch sein kann. |
Hallo,
weil ich mal wieder keinen Plan habe, habe ich mal versucht Beispiele zu finden:
i)
n=1: z.z.: es ex. ein z [mm] \in \IC [/mm] : ord(z)=1
sei z=1+0i (also das neutrale Element bezgl. der Multiplikation) [mm] \Rightarrow [/mm] z*z=(1+0i)(1+0i)=1+0=1=z [mm] \Rightarrow [/mm] ord(z)=1=n
n=2: z.z.: es ex ein z [mm] \in \IC [/mm] mit ord(z)=2
sei z=-1 [mm] \Rightarrow z^2=1=e \Rightarrow [/mm] ord(z)=2=n
Habe ich das überhaupt richtig verstanden?
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moin,
Ja, deine Beispiele stimmen.
Es ist $ord(z)$ das kleinste $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $z^n [/mm] = 1$.
Gibt es kein solches $n$, so definiert man $ord(z) := [mm] \infty$.
[/mm]
Allerdings musst du hier auch aufpassen, es soll das kleinste $n$ sein.
So ist etwa [mm] $1^2 [/mm] = 1$, aber $ord(1) = 1 [mm] \neq [/mm] 2$, du hättest also [mm] $(1+0i)^1 [/mm] = 1$ betrachten sollen.
Um das ganze für allgemeine $n$ zu zeigen kann ich dir als Tipp geben, dass die Schreibweise die du verwendest nicht die aller vorteilhafteste ist. ;)
lg
Schadow
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Ich habe das ganze jetzt noch für n=3 berechnet, mein Ansatz:
[mm] (a+bi)^3 =(a+bi)(a+bi)(a+bi)=...=a^3-3ab^2+(3ba^2-b^3)i=1+0i
[/mm]
also: [mm] a^3-3ab^2=1 [/mm] und [mm] 3ba^2-b^3=0 [/mm]
und das habe ich dann gelöst, das klappt auch...
Muss ich das dann noch für ein Binom n-ten Grades zeigen?
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Könntest du, ja.
Aber es könnte unter Umständen ein wenig kompliziert werden.
Weißt du, dass $1 = [mm] e^{2\pi i}$ [/mm] und kennst du diese Schreibweise für komplexe Zahlen?
Die könnte dir dabei sehr helfen.
lg
Schadow
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Das ist doch ie Polarkoordinatendarstellung, oder?
Und dann könnte man z.B. [mm] e^{2\pi i} [/mm] = [mm] (e^{ \pi i})^2=(-1)^2=1 [/mm] schreiben...
und das bekommt man dann bestimmt doch auch für [mm] (e^{2 \pi i})^n [/mm] hin, oder?
Ist mein Gedanke da richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, das sind die Polarkoordinaten. Und die führen dich auch sehr schnell zum Ziel.
Sei also $n [mm] \in \IN_{>0}$. [/mm] Dann willst du ein [mm] z=e^{i\varphi} [/mm] finden (wieso muss der Radius =1 sein?), sodass [mm] z^n=e^{2\pi i}=1 [/mm] gilt (und für $0 [mm] \le [/mm] m<n$ soll [mm] $z^m \not= [/mm] 1$ gelten).
Ziehst du einfach die n-te Wurzel, dann bekommst du [mm] z=e^{2\pi i/n}. [/mm] Ist dieses $z$ ok?
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Ich denke ja, weil n [mm] \not= [/mm] 0 ist, also kann man dividieren, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, also die Zahl [mm] e^{2\pi p/n} [/mm] existiert immer, genau. Aber ich meinte eher, ob diese Zahl Ordnung n hat!
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Ja, es gilt doch [mm] (e^{\bruch{2\pi i}{n}})^n=e^{\bruch{2\pi i*n}{n}}=e^{2\pi i} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] ord(z)=n
Meintest du das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau, du hast damit gezeigt, dass [mm] z^n=1 [/mm] ist. Du musst allerdings noch irgendwie begründen, dass [mm] $z^m \not= [/mm] 1$, falls $0 [mm] \le [/mm] m<n$.
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Und wenn man diese Schreibweise (Polarkoordinaten) benutzt, dann sieht man ja auch schnell, dass man für r [mm] \not= [/mm] 1 also ||z|| [mm] \not= [/mm] 1 immer [mm] r*(e^{\bruch{2\pi i}{n}})^n=r*1=r \not= [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] ord(z)= [mm] \infty
[/mm]
Stimmt das?
zu iii)
Ich würde ja sagen, dass es da immer zwei Lösungen gibt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 So 20.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, so ähnlich. Du kannst einfach folgendes sagen: Falls [mm] $|z|\not= [/mm] 1$, so ist [mm] $|z^n|=|z|^n \not= [/mm] 1$, also kann [mm] z^n [/mm] nicht 1 sein für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Zu iii)
Wie kommst du auf 2? Und welche hast du gefunden? Es gibt noch weitere!
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Ich hatte mir das bei iii) über den Kreis vorgestellt, der durch [mm] e^{2\pi*t i} [/mm] beschrieben wird. Und dann hatte ich mir dabei überlegt, dass man dort ja noch das negative betrachten kann und. Das waren dann die beiden Zahlen z1 und z2 mit dem Winkel 30° und -30°. [mm] (2\pi [/mm] /12 [mm] \hat= [/mm] 300°/12). Wobei ich mir auch gut vorstellen kann, dass das gegenüberliegende Element dann auch dazu gehört. Dann hätte ich insgesamt vier z mit Ordnung 12.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 So 20.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau, deine ersten 2 Werte stimmen. Und ja, du musst noch die beiden anderen Werte dazu nehmen!
Du hast also Winkel von [mm] \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6} [/mm] und [mm] \frac{11\pi}{6}.
[/mm]
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zu iv)
Mit den Ergebnissen aus ii) ist ja klar, dass nur solche z in Frage kommen, für die gilt: ||z||=1. Dann muss aber auch der Radius dahinter r=1 sein, und damit kann man dann nicht [mm] \IC [/mm] erzeugen. Also kann [mm] (\IC, [/mm] *) nicht zyklish sein, oder?
An diesre Stelle auch mal ein großes Danke für die tolle Hilfe hier! :)
Da bin ich mir auch immer unsicher, ob das von den Leuten erwartet wird...wenn, dann würde ich nämlich nach jeder Aufgabe ein Danke loswerden als Mitteilung. Kann aber auch sein, dass dies dann als nervig empfunden wird, weil dann noch zig Mitteilungen gelesen werden möchten und die Arbeit auf der Strecke bleibt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> zu iv)
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> Mit den Ergebnissen aus ii) ist ja klar, dass nur solche z
> in Frage kommen, für die gilt: ||z||=1. Dann muss aber
> auch der Radius dahinter r=1 sein, und damit kann man dann
> nicht [mm]\IC[/mm] erzeugen. Also kann [mm](\IC,[/mm] *) nicht zyklish sein,
> oder?
Richtig.
>
> An diesre Stelle auch mal ein großes Danke für die tolle
> Hilfe hier! :)
> Da bin ich mir auch immer unsicher, ob das von den Leuten
> erwartet wird...wenn, dann würde ich nämlich nach jeder
> Aufgabe ein Danke loswerden als Mitteilung. Kann aber auch
> sein, dass dies dann als nervig empfunden wird, weil dann
> noch zig Mitteilungen gelesen werden möchten und die
> Arbeit auf der Strecke bleibt...
Ein abschließendes "Danke" ist immer angebracht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke! :)
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