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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Mato |
| Aufgabe | [mm] x^7-16x^4+64x=0
[/mm]
Finde alle Lösungen in [mm] \IC
[/mm]
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hallo!
Ich komme nur auf die reellen Lösungen x=0 oder x=2.
Derive gibt aber auch die komplexen Lösungen an:
x = -1 - 3·î ; x = -1 + 3·î
Wie kommt man drauf?
nach Substitution [mm] x^3=z [/mm] komme ich auf z=8 und [mm] \wurzel[3]{z} [/mm] entspricht doch x= [mm] \wurzel[3]{8}=2. [/mm] Also wieso noch die komplexen Lösungen?
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Hallo Mato!
Zerlegen wir den Term doch noch etwas:
[mm] $$x^7-16*x^4+64*x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^6-16*x^3+64\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^3-8\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x*\left[(x-2)*\blue{\left(x^2+2*x+4\right)}\right]^2$$
[/mm]
Und durch Anwendung der  p/q-Formel auf die blaue Klammer erhältst Du auch die beiden genannten komplexen Lösungen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Mato |
Danke sehr! Aber dennoch frage ich mich, wie man auf sowas kommen könnte. Gibt es da einen "Trick" ? Weil mit der "normalen" Substitution kommt man ja nicht drauf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mato!
Ich habe hier lediglich die Beziehung [mm] $x^n-y^n [/mm] \ = \ [mm] (x-y)*\summe_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}*y^k$ [/mm] verwendet.
Oder andersrum: der Term [mm] $x^n-y^n$ [/mm] hat immer die Nullstelle $x \ = \ y$ , so dass Du hier eine entsprechende Polynomdivision durch $(x-y)_$ durchführen kannst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der "Trick" hier war, dass du ja die Nullstelle 2 kanntest, und Nullstellen kann man immer als [mm] (x-x_0) [/mm] abspalten!
Gruss leduart
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