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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Di 20.11.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | | man berechne [mm] z=\frac{(-2+2i)^7}{(1+\sqrt{3}i)^5}=\frac{w_1^7}{w_2^5} [/mm] mit hilfe von polarkoordinaten in der form [mm] z=r(\cos\phi+i\sin\phi). [/mm] |
hallo,
ich hab folgendes gemacht:
[mm] z_1=w_1^7=(\sqrt{8})^7(\exp(-i\pi/4))^7=512\sqrt{8}\exp(-i7\pi/4),
[/mm]
da [mm] \arctan\frac{Im(w_1)}{Re(w_1)}=-\pi/4 [/mm] ist, und
[mm] z_2=w_2^5=32\exp(i5\pi/3),
[/mm]
da [mm] \arctan\frac{Im(w_2)}{Re(w_2)}=\pi/3 [/mm] ist.
somit erhalte ich insgesamt:
[mm] z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{512\sqrt{8}\exp(-i7\pi/4)}{32\exp(i5\pi/3)}=16\sqrt{8}\exp(-i7\pi/4-i5\pi/3)=16\sqrt{8}\exp(-i\pi/12)=16\sqrt{8}(\cos(\pi/12)-i\sin(\pi/12)).
[/mm]
ist das so richtig?
danke!
gruss beta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur in der allerletzten Zeile ein Fehler:-7/4-5/3=-41/12
da du immer [mm] 2\pi [/mm] addieren kannst hast du dann [mm] -17/12\pi [/mm] oder [mm] +7/12\pi
[/mm]
(ich hätte schon statt [mm] -7/4\pi -7/4\pi+2\pi=1/4\pi [/mm] geschrieben.)
Gruss leduart
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Ich muss leduart leider widersprechen: Es gibt noch einen Fehler. Du hast nicht beachtet, dass arctan(-1) nicht eindeutig ist (hier hilft eine Skizze). In deinem Fall landest du wohl eher bei [mm] \bruch{3 \pi}{4} [/mm] .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Di 20.11.2007 | | Autor: | beta81 |
hallo, danke fuer die antwort.
> Du hast nicht beachtet, dass arctan(-1) nicht
> eindeutig ist (hier hilft eine Skizze). In deinem Fall
> landest du wohl eher bei [mm]\bruch{3 \pi}{4}[/mm] .
ich hab grad den arctan angeschaut (in widipedia). meiner meinung nach ist er da auch eindeutig und hat den wert [mm] -\pi/4. [/mm] wie kommst du auf [mm] 3\pi/4?
[/mm]
gruss beta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo beta!
Du musst Dir den Winkel mal in der Gauß'schen Zahlenebene klar machen: da liegt [mm] $z_1 [/mm] \ = \ -2+2*i$ eindeutig im 2. Quadranten und damit auch im Winkelbereich [mm] $\bruch{\pi}{2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \varphi_1 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Streng genommen ist der Wertebereich von arctan nur [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})[/mm]. Wenn du dir aber den Tangens anschaust, kannst du ihn ja für beliebige Werte (außer [mm] \bruch{k*\pi}{2} [/mm] ) definieren. Also ist der arctan nicht immer die direkte Umkehrfunktion! Daher muss man schon mal 'ne Skizze machen, um zu wissen, welcher Winkel jetzt wirklich gemeint ist.
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