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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Fr 03.02.2006 | | Autor: | asuka |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung
|(2 + i) z | = | z - 1 |
Welche geometrische Gestalt hat die Menge der Lösungen in der komplexen Ebene |
Okay das ist die Aufgabe soweit. Ich habe einen kleinen Lösungsansatz.
Weiß aber nicht wirklich ob der in die richtige Richtung geht.
|(2 + i) (x + iy) | = | x + iy - 1 | erstmal alle z ersetzt
|(2x + 2iy + ix - y | = | x + iy - 1 | die klammern ausmultipliziert
Tja und jetzt steh ich etwas auf dem schlauch. Ich weiß nicht so recht was ich mit den beträgen anstellen soll.
Kann mir da jemand einen tipp geben?
Gruß asuka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Es gilt [mm] $|z|^2=z \bar{z}$.
[/mm]
mfg Heinrich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 03.02.2006 | | Autor: | asuka |
ähem...ja
Also das hilft mir jetzt leider nicht wirklich weiter. Ich weiß nicht wie ich das auf diese aufgabe anwenden soll.
Gruß asuka
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Hallo!
Unter anderem gilt auch [mm] $|z-1|^2=(z-1)(\bar [/mm] z-1)$...
Gruß, banachella
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Hallo asuka,
hier ein anderer Vorschlag:
$|(2+i)z|$ = [mm] $|2+i|\cdot|z|$ [/mm] = [mm] $\sqrt{5}\cdot|z-0|$.
[/mm]
Aufgrund dieser Umformung bist du in der Lage, ![[]](/images/popup.gif) diese Information über gewisse Geometrische Formen in der Komplexen Ebene auszunutzen.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 05.02.2006 | | Autor: | asuka |
Danke für die Tipps und Hilfestellungen :)
Habe mich jetzt noch mal mit der Aufgabe beschäftigt und einen Lösungsweg gefunden. Bin mir aber nicht sicher ob der richtig ist. Wäre nett wenn jemand mal drüber schauen könnte.
| (2+ i) z | = |z - 1| z durch x + iy ersetzten
| (2 + i) (x + iy) | = |x + iy - 1 | links ausmultiplizieren
| 2x + 2iy + ix - y | = | (x - 1) + iy | nach real und imaginärteil sortieren
| (2x - y) + (ix + 2iy)| = | (x - 1) + iy | quadrieren
[mm] \wurzel{(2x - y)² + (x + 2y)²} [/mm] = [mm] \wurzel{(x - 1)² + y²} [/mm] auflösen
4x² - 4xy + y² + x² + 4xy + 4y² = x² - 2x + 1 + y²
4x² + 4y² = -2x + 1
4x² + 2x + 4y² = 1
x² + [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + y² = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] quadratische ergänzung mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
(x² + [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] + y² = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
(x + [mm] \bruch{1}{2})² [/mm] + y² = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
(x + [mm] \bruch{1}{2})² [/mm] + (y + 0)² = [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})²
[/mm]
damit würde ich hier nach der Formel für die geometrische form eines Kreises
(x - [mm] x_{0})² [/mm] + (y - [mm] y_{0})² [/mm] = r²
schließen.
Ich habe immer schon ein problem mit quadratischen ergänzungen gehabt also bin ich mir sehr unsicher ob ich hier alles richtig gemacht habe.
Gruß asuka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo asuka!
Ich habe keinen Fehler entdecken können! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> | (2x - y) + (ix + 2iy)| = | (x - 1) + iy | quadrieren
Allerdings wird hier die Betragsdefinition angewandt ...
> [mm]\wurzel{(2x - y)² + (x + 2y)²}[/mm] = [mm]\wurzel{(x - 1)² + y²}[/mm]
... und jetzt erst quadriert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 05.02.2006 | | Autor: | asuka |
Danke!
Dann bin ich ja beruhigt und freu mich das ich wenigstens jetzt einmal richtig ergänzt habe :)
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