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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Fr 13.06.2008 | | Autor: | konvex |
| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] y^{(4)} [/mm] + y = 0 |
Hallo alle zusammen,
wir haben in der Übung diese aufgabe berechnet.
haben das polynom [mm] p(\lambda)=\lambda^{4}+1=0 [/mm] aufgestellt und die nullstellen berechnet(mit [mm] x_{0} [/mm] bezeichnet):
[mm] x_{0}=\bruch{\wurzel{2}}{2}(1+i)
[/mm]
[mm] -x_{0}
[/mm]
[mm] \overline{x_{0}}
[/mm]
[mm] -\overline{x_{0}}
[/mm]
(soweit hab ichs im hefter stehen)
und dann haben wir doch das fundamentalsystem
[mm] e^{\bruch{\wurzel{2}}{2}(1+i)x} [/mm] , [mm] e^{\bruch{\wurzel{2}}{2}(1-i)x} [/mm] , [mm] e^{-\bruch{\wurzel{2}}{2}(1+i)x} [/mm] , [mm] e^{-\bruch{\wurzel{2}}{2}(1-i)x}
[/mm]
das heißt
y(x) = [mm] c_{1}e^{\bruch{\wurzel{2}}{2}(1+i)x} [/mm] + [mm] c_{2}e^{\bruch{\wurzel{2}}{2}(1-i)x} [/mm] + [mm] c_{3}e^{-\bruch{\wurzel{2}}{2}(1+i)x} [/mm] + [mm] c_{4}e^{-\bruch{\wurzel{2}}{2}(1-i)x}
[/mm]
nun steht bei mir als lösung aber, dass
y(x)= [mm] e^{\bruch{\wurzel{2}}{2}x} (c_{1}cos \bruch{\wurzel{2}}{2}x [/mm] + [mm] c_{2}sin \bruch{\wurzel{2}}{2}x [/mm] ) + [mm] e^{-\bruch{\wurzel{2}}{2}x} (c_{3}cos \bruch{\wurzel{2}}{2}x [/mm] + [mm] c_{4}sin \bruch{\wurzel{2}}{2}x)
[/mm]
nur ich komm da nich drauf, kann mir da vielleicht jemand helfen?
unser lehrer meinte (aber bei einer anderen aufgabe) dass der imaginärteil entfällt bei solchen aufgaben, aber ich weiß nich ob das bei alle gew. dgl gilt...
Danke vielmals im voraus, ich hoffe jemand kann damit was anfangen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 13.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo konvex ,
versuche mal diesen langen term :
y(x) = $ [mm] c_{1}e^{\bruch{\wurzel{2}}{2}(1+i)x} [/mm] $ + $ [mm] c_{2}e^{\bruch{\wurzel{2}}{2}(1-i)x} [/mm] $ + $ [mm] c_{3}e^{-\bruch{\wurzel{2}}{2}(1+i)x} [/mm] $ + $ [mm] c_{4}e^{-\bruch{\wurzel{2}}{2}(1-i)x} [/mm] $
mit dem ansatz: ( Euler)
Tipp 1
[mm] $e^{jx} [/mm] = cos(x) + j sin(x)$
gilt auch für :
( [mm] $e^{2jx} [/mm] = cos(2x) + j sin(2x)$
Desweiteren gilt:
Tipp 2
[mm] $e^{2x+jx} [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * [mm] e^{jx}$
[/mm]
mach es schrittweise:
multipliziere erstmal was in der potenz von e ist aus dann kannst du den Tipp 2 von mir anweden anschließend Tipp1
mfg
masa
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